小结公开课教案

主题复习课

向量法求距离教学设计

空间向量与距离

海口市琼山中学

李文强

一、教学背景

1.1

教学内容分析

本节课是数学选修2-1中3.2立体几何中的向量方法的补充与探究课，通过具体实例的分析与解决，帮助学生掌握用空间向量法解几何中的距离问题的一般方法,在过程中体会向量法的应用价值。本节课的教学重点是运用向量法解决点到面的距离问题，而难点是运用向量法解决空间的距离问题，本节课的上位知识是向量，特别是向量的坐标运算，数量积等相关内容。在本节课的教学过程中会涉及数形结合思想、转化与化归思想以及类比推理等思维形式。

1.2学情分析

学生的知识储备和方法储备：学生在必修2中学习了立体几何的相关知识，在必修四学***面向量，在选修2-1学习了空间向量，学生对向量的基本知识应该熟悉，对向量法在空间几何中的应用有一定的了解。但对向量的工具性认识较浅，不明白向量法的理论基础及背后所蕴含的数学思想。

1.3教学策略分析：

由于本节课是数学选修2-1中3.2立体几何中的向量方法的补充与探究课，授课的对象是高二学生，因此在教学素材的选择上，尽量选择简单直观的空间几何体——正方体，学生从例题的变式训练探究推导中体会到空间距离的转化与化归思想，突出教学重点，突破教学难点，体现出直观想象、逻辑推理的数学核心素养。本堂课选择从一般到特殊，转化与化归的思路安排，而且注意到空间不同距离的类比与转化推理等，力求处处渗透数学思想方法，帮助学生掌握基本方法，领会数学思想，培养理性思维。

二、设计思想分析

本节课的设计思想是：用向量的方向性这一几何性质来确定空间直线与平面的位置，用向量的模的可运算性这一代数性质来求空间中的距离问题。由于本节课的授课的对象是高二学生，

学生已经学习立体几何与向量的基本知识，由于没经过第一轮系统复习，学生还未能深刻体会向量法的本质，对于向量工具性体会不深，无法应用向量法来指导解题实践。因而本节课侧重于用空间向量法求空间距离过程的推导，学生通过探究与推导体会向量法的思想与本质，并在运用向量法解决空间距离问题中体会到数形结合，化归与转化数学思想，提升数学能力。

三、教学目标分析

1、理解空间中距离的分类与概念，会用向量法求点到线，点到面的距离；了解直线与平面、平面与平面的距离的概念，并会用向量法将这两种距离转化为点到面的距离。

2、经历几何问题转化为向量问题，再从向量结论回归几何解释的过程，体会向量法的思想与本质，渗透了直观想象、逻辑推理的核心素养。

3、通过例题与变式训练、练习的计算求解，培养学生数学运算素养与直观想象素养。

四、教学重点与难点分析

1、重点：运用向量法解决点到面的距离；

2、难点：运用向量法解决几何的距离问题。

五、教学方式

以问题为主线的启发式教学

六、教学工具

多媒体课件

七、教学过程设计

（一）复习引入

向量既有图形形象直观的特点，又便于运算，是我们解决几何问题的好帮手，我们共同来回顾与探究向量法在求几何中距离问题的应用。

复习向量运算的一些知识：

已知a=（x1,y1,z1）,b=(x2,y2,z2)，则完成下列问题1)a2)ab3)cosa,b4)a在b方向上的投影是：问题1：同学空间中的距离有哪些呢？

三大类：1）两点间的距离；2)点到线的距离；3)点到面的距离；

还有：4）直线到平面的距离；5）平面到平面的距离等。

设计意图：开门见山，指出本堂课教学目标和学习目标与要用到的上位知识，帮助学生做好心理准备。

问题一：空间两点间的距离

已知空间两点A、B的坐标，如何用向量法来求AB两点间的距离？

已知两点A（xA,yA,zA）,B(xB,yB,zB)AB=（xB-xA, yB-yA, zB-zA)222AB=AB=（xB-xA）（yB-yA）+（zB-zA）

例1：若0为原点，A=（1,1,-2）, B(3,2,8), OC(0,1,0)则线段AB的中点M到点C的距离是( ).A.165 B.2214 C.53 D.532

3解：A（1,1，-2）,B(3,2,8),C（0,1,0），M（2，,3） CM=CM222+（z-z）222(1)2+3253CM=（xM-x）（yM-y）MCCC

22设计意图：通过把两点间的距离问题转化成向量的模的几何性质，再通过向量的模的可运算性的代数性质，得出两点间的距离公式，体会到向量几何与代数的双重特点和向量法求距离的优势，例1体现了数学运算的核心素养。

问题二：空间点到线的距离 已知直线l，与直线l外一点P，如何用向量法求出点P到直线l的距离？ 则d=APsinPAO=APsin

例2：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，M是DC的中点，求点B1到直线A1M距离。a

解：如图建立空间直角坐标系

11AM1cosABAB111,AM13ABAM1111则M(0,,0),B1(1,1,1),A1(1,0,1)，21A1M=（-1,,-1），A1B1(0，1,0)2sinAB2211,AM13dAB2211sinAB11,AM13

设计意图：从问题出发，引导学生观察想象，抓好“用向量的方向性这一几何性质来确定空间直线与平面的位置，用向量的模的可运算性这一代数性质来求空间中的距离问题”这一思维主线。体会出求点到直线的距离的方法与转化思想；引导学生将几何对象用向量表示，体会向量法解几何问题的一般方法；体现向量法求解距离问题的优势。

问题三：空间点到面的距离

如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP与n不共线, 如何用AP与n表示d? d=POPAcosAPOcosAPOcosPA,n

nPAPAn

d=PAcosAPOPAcosPA,nPAnn

这个问题是本节课教学的重点，引导学生类比问题二的推导，用已知向量的模来表示待求距离，注意直线与平面转化为相应的向量，放手给学生以小组讨论的形式来完成。

设计意图：突出重点，体现出学生是课堂教学的主体这一思想，学生通过亲身动手推导，体验了类比与转化、数形结合的思想，培养了逻辑推理这一核心素养。

例3：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：

1）求点D1到面A1BE的距离；

解：如图建立空间直角坐标系

1则D1(0,0,1),B(1,1,0),A1(1,0,1),E(0,,1)2

1A1E=(-1,,0),A1B=(0,1,-1)设n(x,y,z)为平面AB1E的法向量，则2

nA1E0,nA1B0,

取x1,得y2,z2,得到平面A1BE的一个法向量n(1,2,2)

找平面A内的一个辅助点A得向量为D1A,0,0,1BE11

得D1到面A1BE的距离为dD1A1nn13

本例题，通过让学生先给出解决方案，再动手完成。

设计意图：趁热打铁，让学生体验到从实际到理论，再从理论到实际的思维转化过程，

培养了学生的数据分析能力与数学运算能力。

变式训练：

变式1

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：

1）求点D1到面A1BE的距离；

2）求直线D1C到面A1BE的距离；

变式2

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：

1）求点D1到面A1BE的距离；

2）求直线D1C到平面A1BE的距离；

3）求平面A1BE与平面D1C F的距离；

变式3

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：

1）求点D1到面A1BE的距离；

2）求直线D1C到平面A1BE的距离；

3）求平面A1BE与平面D1C F的距离；

4）求异面直线A1E与D1C的距离。

1xy0,

2

yz0,

学生通过观察抽象，根据直线到平面的距离，平面到平面的距离，与异面直线的距离的定义，

讨论推导出以上三种空间距离都可转化成点到平面的距离问题。

设计意图：以变式形式，学生通过观察讨论，通过变式中同一图像的简单变化，推导出直线到平面，

平面到平面与异面直线的距离问题的解决方案，学生体验了转化与化归的数学思想，培养了

学生的直接想象与逻辑推理的核心素养。

练***行平面，分别经过原点0和点A（2,1,1,）,两平面的一个

法向量n(1,0,1),则两平行平面，间的距离是（）

OAn201

解：d2

2n2

练习2：如图：在四棱锥中P—ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=1，AP=2，直线PA⊥平面ABCD，

Q是中点，求点C到平面BPQ的距离；

（思考：若M是AB的中点，则直线DM到平面BPQ的距离是多少。）

解：以A为原点，以AB，AD，AP为

x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如图

1则A(0，0,0),B(1，0,0),P(0，0，2),C(1，1，0)，Q(,1，0)

2

1得BP(1，0，2)，BQ(,1，0)

2

nBP0,

设n(x,y,z)为面BPQ的法向量，则nBQ0,

x2z0,

1令x2,得y1,z1,n可取(2,1,1)xy0,

2CB(0,1,0),点C到平面BPQ的距离dCBnn66

设计意图：培养学生的数学运算能力，学以致用，理解解决空间距离问题的方法，突破难点。

小结：我们今天学习了

2221、两点间的距离：AB=AB=（xB-xA）（yB-yA）+（zB-zA）

2、点P到直线l的距离d=APsin

3、点P到平面的距离d=APnn,

4、“直线与平面”、“平面与平面”、的距离可转化为点到平面距离，

5、“点面距”、“线面距”、“面面距”的距离———化归为关联斜向量在法向量方向上的投影的绝对值。

设计意图：进一步巩固基本定理，熟悉回路法，构建完整知识体系。

作业：已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点。

(1)

求点B到平面GEF的距离；

(2)

求直线BD到平面GEF的距离。

设计意图：通过作业，学生再次深化向量法求距离方法的理解，

老师也能及时反馈教学效果。

板书设计：

问题1：两点距... ... 例1:

问题2：点到线的距离... 例2:

例3: 问题3: 点到面的距离... 屏幕

变式分析：