信息技术应用 图形技术与函数性质优秀完整教案

函数的单调性与导数

教学目标：

1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学难点：

利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学过程：

一．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．

二．新课讲授

1．问题：图（1），它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)4.9t26.5t10的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)h'(t)9.8t6.5的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)是增函数．相应地，v(t)h'(t)0．

（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少，即h(t)是减函数．相应地，v(t)h'(t)0．

2．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

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如图，导数f'(x0)表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率．

在xx0处，f'(x0)0，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)在x0附近单调递增；

在xx1处，f'(x0)0，切线是“左上右下”式的，这时，函数f(x)在x1附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(a,b)内，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减．

说明：（1）特别的，如果f'(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是常函数．

3．求解函数yf(x)单调区间的步骤：

（1）确定函数yf(x)的定义域；

（2）求导数y'f'(x)；

（3）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式f'(x)0，解集在定义域内的部分为减区间．

三．典例分析

例1．已知导函数f'(x)的下列信息：

当1x4时，f'(x)0；

当x4，或x1时，f'(x)0；

当x4，或x1时，f'(x)0

试画出函数yf(x)图像的大致形状．

解：当1x4时，f'(x)0，可知yf(x)在此区间内单调递增；

当x4，或x1时，f'(x)0；可知yf(x)在此区间内单调递减；

当x4，或x1时，f'(x)0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．

综上，函数yf(x)图像的大致形状如图3.3-4所示．

例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）f(x)x33x； （2）f(x)x22x3

（3）f(x)sinxxx(0,)； （4）f(x)2x33x224x1

解：（1）因为f(x)x33x，所以，

f'(x)3x233(x21)0

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因此，f(x)x33x在R上单调递增，如图所示．

（2）因为f(x)x22x3，所以，

f'(x)2x22x1

当f'(x)0，即x1时，函数f(x)x22x3单调递增；

当f'(x)0，即x1时，函数f(x)x22x3单调递减；

函数f(x)x22x3的图像如图3.3-5（2）所示．

（3）因为f(x)sinxxx(0,)，所以，f'(x)cosx10

因此，函数f(x)sinxx在(0,)单调递减，如图3.3-5（3）所示．

（4）因为f(x)2x33x224x1，所以 ．

当f'(x)0，即 时，函数f(x)x22x3 ；

当f'(x)0，即 时，函数f(x)x22x3 ；

函数f(x)2x33x224x1的图像如图3.3-5（4）所示．

注：（3）、（4）生练

例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化

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情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：1B,2A,3D,4C

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．

如图所示，函数yf(x)在0,b或a,0内的图像“陡峭”，

在b,或,a内的图像“平缓”．

例4．求证：函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数．

证明：因为y'6x26x126x2x26x1x2

当x2,1即2x1时，y'0，所以函数y2x33x212x1在区间2,1内是减函数．

说明：证明可导函数fx在a,b内的单调性步骤：

（1）求导函数f'x；

（2）判断f'x在a,b内的符号；

（3）做出结论：f'x0为增函数，f'x0为减函数．

2例5．已知函数

f(x)4xax2x3(xR)在区间1,1上是增函数，求实数a的3取值范围．

解：f'(x)42ax2x2，因为fx在区间1,1上是增函数，所以f'(x)0对x1,1恒成立，即x2ax20对x1,1恒成立，解之得：1a1

所以实数a的取值范围为1,1．

说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则f'(x)0；若函数单调递减，则f'(x)0”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

四．课堂练习

1．求下列函数的单调区间

1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=1+2x 3. f(x)=sinx , x[0,2] 4.

y=xlnx

x2．课本 练习

五．回顾总结

（1）函数的单调性与导数的关系

（2）求解函数yf(x)单调区间

（3）证明可导函数fx在a,b内的单调性

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