3.1.1 变化率问题教案评析

3.1变化率与导数

3.1.1变化率问题

教学目标：

1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义；

2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 教学重点：

平均变化率的实际意义与数学意义

教学难点：

对生活现象作出数学解释

教学过程：

Ⅰ.问题情境,预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P72～P74的内容，回答下列问题．

(1)气球膨胀率

4气球的体积

V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)r3 3如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V)33V

4①当空气容量V从0增加到1L

时，气球的平均膨胀率是多少？

当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)r(0)0.62(dm)

气球的平均膨胀率为r(1)r(0)0.62(dm/L)

10当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)r(1)016(dm)

气球的平均膨胀率为r(2)r(1)0.16(dm/L).显然0.620.16。

21

思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?r(V2)r(V1)

V2V1(2) 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)4.9t26.5t10

hh

t 请计算0t0.5和1t2的平均速度v。 提示：

在

0t0.5这段时间 vh(0.5)h(0)o

4.05(m/s) 0.50h(2)h(1)8.2(m/s)

21在1t2这段时间，v思考：

计算运动员在0t65这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 49(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 平均变化率的定义：

上述问题中的变化率可用函数关系式

f(x2)f(x1)表示，我们把这个式子称为函x2x1数 yf(x)从x1到x2的平均变化率.若设xx2x1,可把x看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1x代替x2，类似地yy2y1。平均变化率表示为：yf(x2)f(x1)

xx2x1

平均变化率的几何意义：

思考：见课本74页：观察函数yf(x)的图象平均变化率yf(x2)f(x1)表示xx2x1

什么?

即时训练 已知函数f(x)3x25,求: (1)从0.1到0.2的平均变化率. (2)在区间x0,x0x上的平均变化率. 求平均变化率的方法技巧：(学生阐述，教师归纳总结) 1.求函数平均变化率的三个步骤

第一步,求自变量的增量xx2x1. 第二步,求函数值的增量yy2y1. yf(x2)f(x1)

xx2x1f(x0x)f(x0)的形式. x第三步,求平均变化率2.求函数在点x0附近的平均变化率,可用变式训练：质点运动规律st23，则在3,3t中的平均速度为（）

A 6t B 6t

当堂训练达标

1.求

yx2在

xx0附近的平均速度

2.过曲线

f(x)x3上两点P（1，1）和Q(1+x,1+y)作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率. 9 C 3t D 9t

t3.已知函数f(x)x2x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y), 则y/x=( )

A.3 B. 3x-(x)2 C.3-(x)2 D. 3-x 小结：

1.

函数的平均变化率

yf(x2)f(x1)

xx2x12.求函数的平均变化率的步骤 (1)求函数的增量yf(x2)f(x1)

yf(x2)f(x1)

xx2x1(2)计算平均变化率