一元一次不等式与一次函数图象的关系教学设计第一课时

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2.5

一元一次不等式与一次函数

第1课时

一元一次不等式与一次函数

1．理解一元一次不等式与一次函数的关系．

2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较．

自学指导：阅读教材P50，完成下列问题：

知识探究

解关于x的不等式kx＋b>0或kx＋b<0的转化思想：

(1)kx＋b>0可以转化为直线y＝kx＋b在x轴的上方的点所对应的x的取值；

(2)kx＋b<0可以转化为直线y＝kx＋b在x轴的下方的点所对应的x的取值．

自学反馈

作出函数y＝2x－5的图象，观察图象回答下列问题：

(1)x取哪些值时，2x－5＝0? (2)x取哪些值时，2x－5＞0? (3)x取哪些值时，2x－5＜0? (4)x取哪些值时，2x－5＞3?

5解：(1)当y＝0时，2x－5＝0，∴x＝，

25∴当x＝时，2x－5＝0. 2(2)要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从

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图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满55足条件，当y＝0时，则有2x－5＝0，解得x＝.当x＞时，由y＝2x－5225可知y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0. 25(3)同理可知，当x＜时，有2x－5＜0. 2(4)要使2x－5＞3，也就是y＝2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y＝2x－5相交于一点B(4，3)，则当x＞4时，有2x－5＞3.

活动1

小组讨论

例1

用画图象的方法解不等式：2x＋1>3x＋4. 解法一：原不等式可化为－x－3>0，画出直线y＝－x－3，可以看出，当x<－3时这条直线上的点在x轴的上方，即这时y＝－x－3>0，所以不等式的解集为x<－3.

解法二：画出直线y＝2x＋1和y＝3x＋4的图象，可以看出，它们的交点的横坐标为－3，当x<－3时，对于同一个x，直线y＝2x＋1上的点在直线y＝3x＋4上相应点的上方，这时2x＋1>3x＋4，所以不等式的解集为x<－3.

对于解法二，两条直线的交点将图象分成了两部分，当x>－3时直线y＝2x＋1的图象位于直线y＝3x＋4的下方，当x<－3时直线y＝2x＋1的图象位于直线y＝3x＋4的上方．

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例2

兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

(1)何时弟弟跑在哥哥前面？

(2)何时哥哥跑在弟弟前面？

(3)谁先跑过20 m？谁先跑过100 m? (4)你是怎样求解的？与同伴交流．

解：设哥哥跑的时间为x秒．哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得y1＝4x，y2＝3x＋9. 函数图象如图：

从图象上来看：

(1)当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面．

(2)当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面．

(3)弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m. (4)从图象上直接可以观察出(1)、(2)小题，在回答第(3)题时，过y轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1＝4x，y2＝3x＋9各有一个交点，每一个交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短．同理可知谁先跑过100 m. 活动2

跟踪训练

作出函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图象，并观察图象回答下列问题：

(1)x取何值时，2x－4＞0?

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(2)x取何值时，－2x＋8＞0? (3)x取何值时，y1>y2?

(4)你能求出函数y1＝2x－4，y2＝－2x＋8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程．

解：图象如下：

(1)当x＞2时，2x－4＞0. (2)当x＜4时，－2x＋8＞0. (3)当x>3时，y1>y2. (4)由2x－4＝0，得x＝2，

由－2x＋8＝0，得x＝4，∴AB＝4－2＝2. y＝2x－4，由得交点y＝－2x＋8，C(3，2)．

∴三角形ABC中AB边上的高为2. 1∴S＝×2×2＝2. 2活动3

课堂小结

用函数图象解一元一次不等式的一般步骤：先把不等式化成ax＋b>0或ax＋b<0的形式；画出y＝ax＋b的图象，

确定图象与x轴的交点，再确定不等式的解集．