多边形的外角和课堂实录【3】

第2课时

多边形的外角和

教学目标

[教用专有] 1．了解多边形的外角等概念．

2．能通过不同方法探索多边形的外角和公式，并会应用它们进行有关计算．

情景问题引入

如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了多少米？

[学生用书P77] 多边形的外角和定理

定

理：任意多边形的外角和都为__360°__．

注

意：多边形的外角和是一个定值，不随边数的改变而改变，无论边数增加还是减少，外角和都是360°.

[学生用书P77] 类型之一

多边形的外角和

一个多边形的内角和是它外角和的4倍，求这个多边形的边数．

解：设这个多边形有n条边．

由题意，得(n－2)×180°＝360°×4，

解得n＝10. 故这个多边形的边数是10. 【点悟】

结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解．

类型之二

多边形的外角和的应用

如图，小明从点O出发，前进5 m后向右转15°，再前进5 m后又向右转15°，…，这样一直下去，直到他第一次回到出发点O为止，他所走的路径构成了一个多边形．

(1)小明一共走了多少米？

(2)这个多边形的内角和是多少度？

解：(1)由题可知，所经过的路线正好构成一个外角是15°的正多边形，

360°÷15°＝24, 24×5＝120 (m)．

答：小明一共走了120 m. (2)(24－2)×180°＝3 960°. 答：这个多边形的内角和是3 960°. 【点悟】

正多边形的外角的计算以及多边形的内角和，第一次回到出发点O时，所经过的路线正好构成一个外角是15°的正多边形是关键．

类型之三

“星形角”和的计算

[2017·青岛模拟]阅读理解：图1是二环三角形，可得S＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A6＝360°. ,图1) 理由：连结A1A4. ∵∠1＋∠2＋∠A1OA4＝180°，

∠A5＋∠A6＋∠A5OA6＝180°，

∠A1OA4＝∠A5OA6，

∴∠1＋∠2＝∠A5＋∠A6. ∵∠A2＋∠3＋∠1＋∠2＋∠4＋∠A3＝360°，

∴∠A2＋∠3＋∠A5＋∠A6＋∠4＋∠A3＝360°，

即S＝360°. 延伸探究：

,图2)

,图3) (1)图2是二环四边形，可得S＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A8＝720°，请你加以证明；

(2)图3是二环五边形，可得S＝__1__080°__，聪明的你，能根据以上的规律直接写出二环n边形(n≥3的整数)中，S＝__360(n－2)__度(用含n的代数式表示)．

证明：(1)如答图所示，

则S＝∠A1＋∠A2＋…＋∠A8＝∠A2A1A5＋∠A2＋…＋∠A4＋∠M＋∠1＋∠2＋∠A4A8A6＝(6－2)×180°＝720°. ,答图) 【点悟】

此题主要是巧妙构造辅助线把要求的角全部构造到同一个多边形中．

[学生用书P77]

1．多边形外角和等于(

B

) A．180°

B．360°

C．720°

D．(n－2)·180°

2．如果一个多边形的边数由n增加到n＋3，其外角和的度数(

A

) A．不变

B．增加

C．减少

D．不能确定

3．[2018·怀化]一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数为__10__．

【解析】这个多边形的边数是360°÷36°＝10. 4．[2018·郴州]一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是__720°__．

5．[2018·宿迁]一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是__8__．

【解析】

设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝360°×3，解得n＝8.

[学生用书P77]

1．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是(

B

) A．a＞b

B．a＝b

C．a＜b

D．b＝a＋180°

2．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是(

C

) A．12

B．13 C．14

D．15 3．[2018·山西]图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝__360__度．

,图1)

【解析】

如答图，延长CD、DE，

,图2) ,答图) 则∠1＝∠7，∠2＝∠6，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝∠7＋∠6＋∠3＋∠4＋∠5＝360°. 4．一个多边形的内角和与外角和之比是7∶2，求这个多边形的边数．

解：设这个多边形的边数为n，

（n－2）·180°7＝，解得n＝9，

360°2则故这个多边形的边数为9.

5．一个多边形的内角和与外角和之和是2 160°，求这个多边形的边数．

解：设这个多边形的边数为n，

则(n－2)×180°＋360°＝2 160°，解得n＝12. 故这个多边形的边数为12. 6．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°. (1)求证：AB∥DE；

(2)连结BD，如果BD平分∠CDA，求证：BD⊥AB.

证明：(1)六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°. ∵六边形ABCDEF的内角都相等，

∴每个内角的度数为720°÷6＝120°. 又∵∠DAB＝60°，四边形ABCD的内角和为360°，

∴∠CDA＝360°－∠DAB－∠ABC－∠C＝360°－60°－120°－120°＝60°，

∴∠EDA＝120°－∠CDA＝120°－60°＝60°，

∴∠EDA＝∠DAB＝60°，

∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)．

(2)∵DB平分∠CDA，

∴∠ADB＝∠BDC＝30°. 又∵∠DAB＝60°，

∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠DAB＝180°－30°－60°＝90°，

∴BD⊥AB.

7．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于(

C

) A.180°

B.270°

,第7题图)

8．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝(

B

) A．450°

B．540°

C．630°

D．720°

,第8题图) 9．(1)如图1，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；

(2)如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝__180__°；

如图3，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝__180__°；

如图4，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝__180__°；

(3)图5是一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__140__°. ,图1)

,图2)

,图3) ,图4)

,图5)

解：(1)如答图1，延长BO交AC于点D，

则∠BOC＝∠BDC＋∠C. ∠BDC＝∠A＋∠B，

∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A. ,答图1) (2)如答图2，

根据外角的性质，得

∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D. ∵∠1＋∠2＋∠E＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 如答图3，根据外角的性质，得

∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D. ∵∠1＋∠2＋∠E＝180°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. 如答图4，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G. 根据外角的性质，得

∠GFC＝∠D＋∠E，∠FGC＝∠BAE＋∠B. ∵∠GFC＋∠FGC＋∠C＝180°，

∴∠BAE＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°. ,答图2)

,答图3)

(3)如答图5，

,答图4)

∵∠BOD＝70°，

∴∠A＋∠C＋∠E＝70°，

∴∠B＋∠D＋∠F＝70°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝70°＋70°＝140°. ,答图5)