平行四边形的判定的综合练习优秀公开课教案

2019年06月11日数学03的初中数学组卷

一．选择题（共7小题）

1．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE＝90°，△DOE绕点O旋转，DE交OC于点P．则下列结论：

（1）AD+BE＝AC；

（2）AD+BE＝DE；

（3）△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；

（4）OD＝OE．

其中正确的结论有（

）

222

A．①④

B．②③

C．①②③

D．①②③④

3．如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；

④∠AEB＝∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（

）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

第1页（共50页）

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC∥OA，点D的坐标为D（0，），点B的横坐标为1，则点C的坐标是（

）

A．（0，2）

B．（0，+）

C．（0，）

D．（0，5）

5．如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（

）

A．45°

B．60°

C．50°

D．55°

6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：

①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．

其中正确结论的个数为（

）

A．1

B．2

C．3

D．4

7．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（

）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

二．填空题（共7小题）

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝

，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，第2页（共50页）

得到△MNC，连接BM，则BM的长是

．

9．如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5…，Rt△OA2017A2018，若点A0（0，1），则点A2018的纵坐标为

．

10．如图，△ABC是等边三角形，点A（﹣3，0），点B（3，0），点D是y轴上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接DE，得到△BDE，则OE的最小值为

．

11．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点的值是

．

H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，则第3页（共50页）

12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值是

．

13．已知关于x的分式方程﹣＝0无解，则a的值为

．

14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为

．

三．解答题（共13小题）

15．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点P为射线BD，CE的交点．

（1）求证：BD＝CE；

（2）若AB＝4，AD＝3，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，线段PB的长为

（直接填空）

第4页（共50页）

16．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，F（2，4）．

（1）求G点坐标；

（2）△EFG的面积为

（直接填空）；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的纵坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系中，A（0.4），B（﹣2，0），E（0，2），过点E作EF⊥AB，交x轴于点C，垂足为F，作平行四边形ABCD．

（1）求证：△ABO≌△CEO；

（2）如图②，连接AC，在x轴上是否存在点P，使∠CAP+∠ECO＝45°？若存在，直接写出满足条件的直线AP的解析式；若不存在，请说明理由．

18．已知，如图，在三角形△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s，过点P的动直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

第5页（共50页）

（1）线段AD＝

cm；

（2）求证：PB＝PQ；

（3）当t＝

时，△APC的面积等于△AMB的面积；

（4）当t＝

时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．

19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点．

（1）求证：DE＝BF．

（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．

20．如图，直线AB：y＝x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是第一象限内直线AB上一点，过点C作CD⊥x轴于点D，且CD的长为，P是x轴上的动点，N是直线AB上的动点．

（1）直接写出A，B两点的坐标：A

，B

；

（2）如图①，若点M的坐标为（0，），是否存在这样的P点．使以O，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若有在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，将直线AB绕点C逆时针旋转交y轴于点F，交x轴于点E，若旋转角即∠ACE＝45°，求△BFC的面积．

第6页（共50页）

21．某新能源汽车销售公司销售A品牌电动汽车，今年5月份电动汽车的售价比去年同期降价了1万元，如果销售的数量相同，去年5月份的销售额为110万元，今年5月份的销售额就只有105万元．

（1）求今年5月份A品牌电动汽车的售价；

（2）该公司同时销售B品牌混合动力汽车，已知A、B品牌汽车的进价分别为20万元/辆、12万元/辆，若公司预计用不超过236万元且不少于204万元的资金购进两款汽车共15辆，求公司的进货方案有多少种？

（3）在（2）的条件下，今年5月份B品牌汽车的售价为13.8万元/辆，且每售出一辆A品牌电动汽车，政府将给予公司a万元奖励（0＜α＜2），已知该公司销售两款汽车的最大利润为28.4万元，求a的值．

22．（1）如图1，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求证：FP＝FC；

（2）如图2，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延长PG交CB的延长线于点F，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作FE⊥PC，垂足为点E，交CG于点N，连结DN，求∠NDC的度数．

23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．

（1）求直线BC和AB的解析式；

第7页（共50页）

（2）将点B沿某条直线折叠到点0，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE⊥AC，垂足为E．连接BE

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于4，求AE的长．

25．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形．

（2）求∠OAD的度数．

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

26．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB＝CF；

第8页（共50页）

（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．

27．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t秒．

（1）求CD的长；

（2）t为何值时？四边形PBQD为平行四边形；

（3）在点P，点Q的运动过程中，当0＜t≤2和6＜t≤8时，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

第9页（共50页）

2019年06月11日数学03的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共7小题）

1．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC，成立的个数有（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE＝∠EAD＝60°推出△ABE是等边三角形，由于AB＝BC，得到AE＝BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD＝30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，根据AB＝BC，OB＝BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE＝AB，于是得到OE＝BC，故④正确．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠EAD＝60°

∴△ABE是等边三角形，

∴AE＝AB＝BE，

∵AB＝BC，

∴AE＝BC，

∴∠BAC＝90°，

∴∠CAD＝30°，故①正确；

第10页（共50页）

∵AC⊥AB，

∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，

∵AB＝BC，OB＝BD，

∵BD＞BC，

∴AB≠OB，故③错误；

∵CE＝BE，CO＝OA，

∴OE＝AB，

∴OE＝BC，故④正确．

故选：C．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．

2．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，点D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE＝90°，△DOE绕点O旋转，DE交OC于点P．则下列结论：

（1）AD+BE＝AC；

（2）AD+BE＝DE；

（3）△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；

（4）OD＝OE．

其中正确的结论有（

）

222

A．①④

B．②③

C．①②③

D．①②③④

【分析】由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，CO＝AO＝BO，∠ACO＝∠BCO＝∠A＝∠B＝45°，CO⊥AO，由“ASA”可证△ADO≌△CEO，△CDO≌△BEO，由全等三角形的性质可依次判断．

【解答】解：∵在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，O是斜边AB的中点，

∴AC＝BC，CO＝AO＝BO，∠ACO＝∠BCO＝∠A＝∠B＝45°，CO⊥AO

第11页（共50页）

∵∠DOE＝90°，

∴∠COD+∠COE＝90°，且∠AOD+∠COD＝90°

∴∠COE＝∠AOD，且AO＝CO，∠A＝∠ACO＝45°，

∴△ADO≌△CEO（ASA）

∴AD＝CE，OD＝OE，

同理可得：△CDO≌△BEO

∴CD＝BE，

∴AC＝AD+CD＝AD+BE

在Rt△CDE中，CD+CE＝DE，

∴AD+BE＝DE，

∵△ADO≌△CEO，△CDO≌△BEO

∴S△ADO＝S△CEO，S△CDO＝S△BEO，

∴△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍；

故选：D．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用等腰直角三角形的性质是本题的关键．

3．如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；

④∠AEB＝∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是（

）

222222

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．②③④

【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以．

【解答】解：由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，

①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以，

故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，第12页（共50页）

熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC∥OA，点D的坐标为D（0，），点B的横坐标为1，则点C的坐标是（

）

A．（0，2）

B．（0，+）

C．（0，）

D．（0，5）

【分析】先根据D点坐标求出OD的长，再由角平分线的性质得出BD的长，根据点B的横坐标为1可知BC＝1，再由勾股定理即可得出CD的长，进而可得出结论．

【解答】解：∵点D的坐标为D（0，∴OD＝，

），

∵AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC∥OA，

∴BD＝OD＝，∠BCD＝90°，

∵点B的横坐标为1，

∴BC＝1，

在Rt△BCD中，

∵CD+BC＝BD，即CD+1＝（∴OC＝OD+CD＝∴C（0，故选：B．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

5．如图，在△ABE中，∠A＝105°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB+BC＝BE，则∠B的度数是（

）

++，

22222），解得CD＝2，

）．

第13页（共50页）

A．45°

B．60°

C．50°

D．55°

【分析】利用线段垂直平分线的性质知∠E＝∠EACAC＝CE，等量代换得AB＝CE＝AC，利用三角形的外角性质得∠B＝∠ACB＝2∠E，从而根据三角形的内角和计算．

【解答】解：连接AC

∵CM⊥AE

∴∠E＝∠EACAC＝CE（线段垂直平分线的性质）

∵AB+BC＝BE（已知）

BC+CE＝BE

∴AB＝CE＝AC（等量代换）

∴∠B＝∠ACB＝2∠E（外角性质）

∵∠B+∠E+105°＝180°（三角形内角和）

∴∠B+∠B+105°＝180°

解得∠B＝50°．

故选：C．

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质．

6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：

①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．

其中正确结论的个数为（

）

第14页（共50页）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．

【解答】证明：∵BC＝EC，

∴∠CEB＝∠CBE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，

∴∠CEB＝∠EBF，

∴∠CBE＝∠EBF，

∴①BE平分∠CBF，正确；

∵BC＝EC，CF⊥BE，

∴∠ECF＝∠BCF，

∴②CF平分∠DCB，正确；

∵DC∥AB，

∴∠DCF＝∠CFB，

∵∠ECF＝∠BCF，

∴∠CFB＝∠BCF，

∴BF＝BC，

∴③正确；

∵FB＝BC，CF⊥BE，

∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，

∴PF＝PC，故④正确．

故选：D．

第15页（共50页）

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．

7．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC是特异三角形，∠A＝30°，∠B为钝角，则符合条件的∠B有（

）个．

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】如图1中，当BD是特异线时，分三种情形讨论，如图2中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC根据等腰三角形性质即可解决问题，当CD为特异线时，不合题意．

【解答】解：如图2中，

当BD是特异线时，如果AB＝BD＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝120°+15°＝135°，

如果AD＝AB，DB＝DC，则∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝75°+37.5°＝112.5°，

如果AD＝DB，DC＝CB，则ABC＝∠ABD+∠DBC＝30°+60°＝90°（不合题意舍弃）．

如图3中，当AD是特异线时，AB＝BD，AD＝DC，则∠ABC＝180°﹣20°﹣20°＝140°

第16页（共50页）

当CD为特异线时，不合题意．

∴符合条件的∠ABC的度数为135°或112.5°或140°

符合条件的∠B有3个，

故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，学会画出图形，借助于图形解决问题，学会利用方程去思考问题，属于中考创新题目．

二．填空题（共7小题）

8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝得到△MNC，连接BM，则BM的长是

，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，+1

．

【分析】如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM为等边三角形根据AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝，最终得到答案BM＝BO+OM＝1+．

【解答】解：如图，连接AM，

由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，

∴△ACM为等边三角形，

∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；

∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝∴AC＝2＝CM＝2，

第17页（共50页）

，

∵AB＝BC，CM＝AM，

∴BM垂直平分AC，

∴BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝∴BM＝BO+OM＝1+故答案为：1+．

，

，

【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．

9．如图，Rt△OA0A1在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90°，∠A1OA2＝30°，以OA2为直角边向外作Rt△OA2A3，使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt△OA3A4，Rt△OA4A5…，Rt△OA2017A2018，若点A0（0，1），则点A2018的纵坐标为

．

【分析】由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA1、OA2，得出OA长度变化规律，即可得出结果．

【解答】解：∵∠OA0A1＝90°，OA0＝1，∠A0OA1＝30°，

∴OA1＝，

），…，OAn＝（2同理：OA2＝（）

n第18页（共50页）

∴OA2018的长度为

（）2018；

∵2018×30°÷360＝168…2，

∴OA2018与OA2所在直线重合，

∴点A2018的纵坐标为＝＝．

故答案为．

【点评】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．

10．如图，△ABC是等边三角形，点A（﹣3，0），点B（3，0），点D是y轴上的一个动点，连接BD，将线段BD绕点B逆时针旋转60°，得到线段BE，连接DE，得到△BDE，则OE的最小值为

．

【分析】取BC中点G，连接DG，由“SAS”可证△BGD≌△BOE，可得OE＝DG，当DG⊥OC时，DG的值最小，即OE的值最小，由直角三角形的性质可求OE的最小值．

【解答】解：如图，取BC中点G，连接DG，

∵△ABC是等边三角形，点A（﹣3，0），点B（3，0），

∴AO＝BO＝3，∠BCO＝30°，∠ABC＝60°

∴BC＝6＝AB

∵点G是BC中点

∴CG＝BG＝3＝OA＝OB

第19页（共50页）

∵将线段BD绕点B逆时针旋转60°，

∴∠DBE＝60°，BD＝BE

∴∠ABC＝∠DBE

∴∠CBD＝∠ABE，且BE＝BD，BG＝OB＝3，

∴△BGD≌△BOE（SAS）

∴OE＝DG

∴当DG⊥OC时，DG的值最小，即OE的值最小．

∵∠BCO＝30°，DG⊥OC

∴DG＝CG＝

∴OE的最小值为

故答案为：

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．

11．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点的值是

．

H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，则

【分析】根据矩形的性质得到AD＝BC＝AB＝CD，由DE平分∠ADC，得到△ADHCD，得到等腰三角形求出是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE＝∠AED＝67.5°，∠AEB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，进而求出△AOH和△OEH是等腰三角形，即可得出结论．

【解答】解：在矩形ABCD中，AD＝BC＝∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE＝45°，

∵AH⊥DE，

∴△ADH是等腰直角三角形，

第20页（共50页）

AB＝CD，

∴AD＝AB，

∴AH＝AB＝CD，

∵△DEC是等腰直角三角形，

∴DE＝CD，

∴AD＝DE，

∴∠AEH＝67.5°，

∴∠EAH＝22.5°，

∵DH＝CD，∠EDC＝45°，

∴∠DHC＝67.5°，

∴∠OHA＝22.5°，

∴∠OAH＝∠OHA，

∴OA＝OH，

∴∠AEH＝∠OHE＝67.5°，

∴OH＝OE，

∴OH＝AE，即故答案为：．

＝．

【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．

12．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值是

2

．

第21页（共50页）

【分析】如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．首先证明AN′＝BN′，因为N′B+N′C＝N′A+N′C，即可推出当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC；

【解答】解：如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．

∵∠MAE＝45°，

∴△MAE是等腰直角三角形，

∴MA＝ME，

∵∠AME＝∠NMN′＝90°，

∴∠AMN＝∠EMN′，

∵MN＝MN′，

∴△AMN≌△EMN′，

∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，

∴∠AEN′＝90°，

∴EN′⊥AB，

∵AM＝DM＝，AB＝4，

∴AE＝2，EB＝2，

∴AE＝EB，

∴N′B＝N′A，

∴N′B+N′C＝N′A+N′C，

∴当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC，

在Rt△BCF中，∵BC＝AD＝2∴CF＝BF＝2，

在Rt△ACF中，AC＝

，∠CBF＝∠DAB＝45°，

＝2，

第22页（共50页）

故答案为2．

【点评】本题考查平行四边形的性质、旋转变换、两点之间线段最短、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

13．已知关于x的分式方程﹣＝0无解，则a的值为

0、或﹣1

．

【分析】根据题意得出方程无解时x的值，注意多种情况，依次代入得出a的值．

【解答】解：去分母得ax﹣2a+x+1＝0．

∵关于x的分式方程（1）x（x+1）＝0，

解得：x＝﹣1，或x＝0，

当x＝﹣1时，ax﹣2a+x+1＝0，即﹣a﹣2a﹣1+1＝0，

解得a＝0，

当x＝0时，﹣2a+1＝0，

解得a＝．

（2）方程ax﹣2a+x+1＝0无解，

即（a+1）x＝2a﹣1无解，

∴a+1＝0，a＝﹣1．

故答案为：0、或﹣1．

【点评】本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中．

14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转一定角度后得△EDC，点D在AB边上，斜边DE交AC于点F，则图中阴影部分面积为

．

﹣＝0无解，

【分析】先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判第23页（共50页）

断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，

∴∠B＝60°，AB＝2BC＝4，AC＝2∵△EDC是△ABC旋转而成，

∴BC＝CD＝BD＝AB＝2，

∵∠B＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴∠BCD＝60°，

∴∠DCF＝30°，∠DFC＝90°，

即DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∵BD＝AB＝2，

∴DF是△ABC的中位线，

∴DF＝BC＝×2＝1，CF＝AC＝×2∴S阴影＝DF×CF＝×＝．

＝，

，

【点评】考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．

三．解答题（共13小题）

15．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点P为射线BD，CE的交点．

（1）求证：BD＝CE；

（2）若AB＝4，AD＝3，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，线段PB的长为

0.8或5.6

（直接填空）

第24页（共50页）

【分析】（1）证明△DAB≌△EAC，可得BD＝CE；

（2）分两种情况讨论：当点E在AB上时和点E在BA的延长线上时，分别画出图形，利用锐角三角函数定义求解即可得出答案．

【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠EAC＝∠DAB，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD＝CE；

（2）当∠EAC＝90°时，分两种情况讨论：

当点E在AB上时，如图1，由（1）得，△DAB≌△EAC，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵AB＝AC＝4，AD＝AE＝3，∠BAC＝90°，

∴BE＝1，EC＝5，

∴cos∠ABD＝cos∠ACE＝，

∴，

∴PB＝0.8；

当点E在BA的延长线上时，如图2，

同理可得，BD＝CE＝5，DP＝CD•sin∠ACE＝0.6，

∴PB＝BD+PD＝5+0.6＝5.6．

故答案为：0.8或5.6．

第25页（共50页）

【点评】本题考查图形的旋转，三角形全等的判定和性质，锐角三角函数的定义，分类讨论思想．解决（2）问的关键是根据∠EAC＝90°画出符合题意的图形．

16．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，F（2，4）．

（1）求G点坐标；

（2）△EFG的面积为

2

（直接填空）；

（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的纵坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据折叠性质可知FG＝AF＝2，而FB＝AB﹣AF＝1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标；

（2）由三角函数求出∠BFG＝60°，得出∠AFE＝∠EFG＝60°，由三角函数求出AE＝AFtan∠AFE＝2，代入三角形面积公式计算即可；

（3）因为M、N均为动点，只有FG已经确定，所以可从此入手，按照FG为一边、FG为对角线的思路，顺序探究可能的平行四边形的形状．确定平行四边形的位置与形状之后，利用全等三角形求得M点的纵坐标，再利用直线解析式求出M点的横坐标，从而求得M点的坐标．

第26页（共50页）

【解答】解：（1）∵B点坐标是（3，4），F（2，4），

∴AB＝3，OA＝BC＝4，AF＝2，

∴BF＝AB﹣AF＝1，

由折叠的性质得：△EFA≌△EFG，GF＝AF＝2，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B＝90°，

∴BG＝∴CG＝4﹣，

）；

＝，

＝＝，

∴G点的坐标为（3，4﹣

（2）在Rt△BFG中，cos∠BFG＝∴∠BFG＝60°，

∴∠AFE＝∠EFG＝60°，

∴AE＝AFtan∠AFE＝2tan60°＝2∵△EFA的面积＝AE×AF＝×2∴△EFG的面积＝2故答案为：2；

；

，

×2＝2，

（3）若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：

①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示．

过M1点作M1H⊥x轴于点H，

∵M1N1∥FG，

∴∠HN1M1＝∠HQF，

又∵AB∥OQ，

∴∠HQF＝∠BFG，

∴∠HN1M1＝∠BFG，

又∵∠M1HN1＝∠B＝90°，M1N1＝FG，

在△M1HN1和△GBF中，，

∴△M1HN1≌△GBF（AAS），

第27页（共50页）

∴M1H＝GB＝，

，

由（2）得：OE＝OA﹣AE＝4﹣2∴E点的坐标为（0，4﹣2），

设直线EF的解析式为y＝kx+b，则，

解得：，

x+4﹣2，

，）；

∴直线EF的解析式为y＝∵当y＝时，x＝3﹣，∴点M1的坐标为（3﹣②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示．

仿照与①相同的办法，可求得M2（1﹣，﹣）；

③FG为平行四边形的对角线，如图3所示．

过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．

则∠M3HF＝∠GCN3＝90°，∠M3FH＝∠GN3C，M3F＝GN3，

在△M3FH和△GN3C中，，

∴△M3FH≌△GN3C（AAS），

∴M3H＝CG＝4﹣∴M3的纵坐标为8﹣，

；

．

代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为1+∴M3（1+，8﹣）．

综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形．

点M的坐标为：M1（3﹣，），M2（1﹣，﹣），M3（1+，8﹣）．

第28页（共50页）

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、一次函数解析式的求法等知识，本题综合性强，难度较大，证明三角形全等，求出点的坐标是关键．

17．如图，在平面直角坐标系中，A（0.4），B（﹣2，0），E（0，2），过点E作EF⊥AB，交x轴于点C，垂足为F，作平行四边形ABCD．

（1）求证：△ABO≌△CEO；

（2）如图②，连接AC，在x轴上是否存在点P，使∠CAP+∠ECO＝45°？若存在，直接写出满足条件的直线AP的解析式；若不存在，请说明理由．

第29页（共50页）

【分析】（1）由题意可得AO＝4，OE＝BO＝2，由余角的性质可得∠BCF＝∠BAO，由“AAS”可证△ABO≌△CEO；

（2）分点P在点C左边，点P在点C右边两种情况讨论即可．

【解答】解：（1）∵A（0.4），B（﹣2，0），E（0，2），

∴AO＝4，OE＝BO＝2

∵EF⊥AB，AO⊥BO

∴∠B+∠BCF＝90°，∠B+∠BAO＝90°

∴∠BCF＝∠BAO，且∠AOB＝∠COE＝90°，BO＝EO

∴△ABO≌△CEO（AAS）

（2）存在

∵△ABO≌△CEO；

∴AO＝CO＝4，

∴∠ACO＝∠CAO＝45°，点C（4，0）

∴∠ACF+∠ECO＝45°

如图，若点P在点C左边，

∵∠CAP+∠ECO＝45°，∠ACF+∠ECO＝45°

∴∠ACF＝∠PAC

∴AP∥CF

∵点E（0，2），点C（4，0）

第30页（共50页）

∴设CE解析式为：y＝kx+2

∴0＝4k+2

∴k＝﹣

∴CE解析式为：y＝﹣x+2

∵AP∥FC

∴AP解析式为：y＝﹣x+4

若点P在点C右侧，

∵∠CAP+∠ECO＝45°，∠ACF+∠ECO＝45°

∴∠ACF＝∠PAC

∵∠PAO+∠PAC＝45°，∠ACF+∠FCO＝45°

∴∠PAO＝∠FCO，且AO＝CO，∠AOC＝∠COA＝90°

∴△AOP≌△COE（SAS）

∴OP＝OE＝2

∴点P坐标（2，0）

设直线AP解析式：y＝mx+4过点P（2，0）

∴0＝2m+4

∴m＝﹣2

∴直线AO解析式：y＝﹣2x+4

【点评】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，利用分类讨论的思想解决问题是本题的关键．

18．已知，如图，在三角形△ABC中，AB＝AC＝20cm，BD⊥AC于D，且BD＝16cm．点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s，过点P的动直线PQ∥AC，交BC于点Q，连结PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

第31页（共50页）

（1）线段AD＝

12

cm；

（2）求证：PB＝PQ；

（3）当t＝

4s

时，△APC的面积等于△AMB的面积；

（4）当t＝

s或4s

时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形．

【分析】（1）由勾股定理求出AD即可；

（2）由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠PBQ＝∠PQB，再由等腰三角形的判定定理即可得出结论；

（3）作PE⊥AC于E，则PE∥BD，根据题意得：BP＝t，AP＝20﹣t，AM＝4t，由三角形面积公式求出△AMB的面积＝AM×BD＝32（tcm），由平行线得出△APE∽△ABD，得出对应边成比例＝，求出PE＝（20﹣t），由三角形面积公式求出△APC的面2积＝160﹣8t，根据△APC的面积等于△AMB的面积得出方程，解方程即可；

（4）分两种情况：①当点M在点D的上方时，根据题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，得出MD＝AD﹣AM＝12﹣4t，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可；

②当点M在点D的下方时，根据题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，得出MD＝AM﹣AD＝4t﹣12，由PQ∥MD，当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，得出方程，解方程即可．

【解答】（1）解：∵BD⊥AC，

∴∠ADB＝90°，

∴AD＝故答案为：12；

（2）证明：∵AB＝AC，

第32页（共50页）

＝＝12（cm），

∴∠ABC＝∠C，即∠PBQ＝∠C，

∵PQ∥AC，

∴∠PQB＝∠C，

∴∠PBQ＝∠PQB，

∴PB＝PQ；

（3）解：作PE⊥AC于E，如图1所示：

则PE∥BD，

根据题意得：BP＝t，AP＝20﹣t，AM＝4t，

∴△AMB的面积＝AM×BD＝×4t×16＝32t（cm），

∵PE∥BD，

∴△APE∽△ABD，

∴＝，即＝，

2解得：PE＝（20﹣t），

∴△APC的面积＝AC×PE＝×20×（20﹣t）＝160﹣8t，

∵△APC的面积等于△AMB的面积，

∴160﹣8t＝32t，

解得：t＝4（s），

故答案为：4s；

（4）解：分两种情况：

①当点M在点D的上方时，如图2所示：

根据题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，

∴MD＝AD﹣AM＝12﹣4t，

∵PQ∥AC，

∴PQ∥MD，

当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，

∴t＝12﹣4t，

解得：t＝（s）；

②当点M在点D的下方时，如图3所示：

第33页（共50页）

根据题意得：PQ＝BP＝t，AM＝4t，AD＝12，

∴MD＝AM﹣AD＝4t﹣12，

∵PQ∥AC，

∴PQ∥MD，

当PQ＝MD时，四边形PQDM是平行四边形，

∴t＝4t﹣12，

解得：t＝4（s）；

综上所述，当t＝故答案为：s或t＝4s时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形；

s或4s．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积公式以及分类讨论等知识；本题综合第34页（共50页）

性强，熟练掌握平行四边形的判定方法，进行分类讨论是解决问题（4）的关键．

19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点．

（1）求证：DE＝BF．

（2）求证：四边形BFDE是平行四边形．

【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据平行四边形的判定和性质即可得到结论．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO＝OD，AO＝OC，

又∵E，F分别为AO，OC的中点，

∴EO＝OF，

∴四边形BFDE是平行四边形，

∴DE＝BF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BO＝OD，AO＝OC，

又∵E，F分别为AO，OC的中点，

∴EO＝OF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型．

20．如图，直线AB：y＝x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，C是第一象限内直线AB上一点，过点C作CD⊥x轴于点D，且CD的长为，P是x轴上的动点，N是直线AB上的动点．

（1）直接写出A，B两点的坐标：A

（﹣4，0），

，B

（0，2）

；

（2）如图①，若点M的坐标为（0，），是否存在这样的P点．使以O，P，M，N第35页（共50页）

为顶点的四边形是平行四边形？若有在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，将直线AB绕点C逆时针旋转交y轴于点F，交x轴于点E，若旋转角即∠ACE＝45°，求△BFC的面积．

【分析】（1）令x＝0，y＝0可求点A，点B坐标；

（2）分OM为边，OM为对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质可求点P坐标；

（3）过点C作CG⊥AB，交x轴于点G，由题意可得点C坐标，即可求直线CG解析式为：y＝﹣2x+，可得点G坐标，由锐角三角函数和角平分线的性质可得，可求点E坐标，用待定系数法可求直线CF解析式，可求点F坐标，即可求△BFC的面积．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝2，

当y＝0时，0＝×x+2

∴x＝﹣4

∴点A（﹣4，0），点B（0，2）

故答案为：（﹣4，0），（0，2）

（2）设点P（x，0）

若OM为边，则OM∥PN，OM＝PN

∵点M的坐标为（0，∴OM⊥x轴，OM＝

∴PN⊥x轴，PN＝

∴当y＝时，则＝x+2

∴x＝﹣1

第36页（共50页）

），

当y＝﹣时，则﹣＝x+2

∴x＝﹣7

∴点P（﹣1，0），点P（﹣7，0）

若OM为对角线，则OM与PN互相平分，

∵点M的坐标为（0，），点O的坐标（0，0）

∴OM的中点坐标（0，﹣）

∵点P（x，0），

∴点N（﹣x，﹣）

∴﹣＝×（﹣x）+2

∴x＝7

∴点P（7，0）

综上所述：点P（﹣1，0）或（﹣7，0）或（7，0）

（3）∵CD＝，即点C纵坐标为

∴＝x+2

∴x＝3

∴点C（3，）

如图，过点C作CG⊥AB，交x轴于点G，

∵CG⊥AB，

∴设直线CG解析式为：y＝﹣2x+b

∴＝﹣2×3+b

第37页（共50页）

∴b＝

∴直线CG解析式为：y＝﹣2x+∴点G坐标为（，0）

∵点A（﹣4，0），点B（0，2）

∴OA＝4，OB＝2，AG＝∵tan∠CAG＝∴

∵∠ACF＝45°，∠ACG＝90°

∴∠ACF＝∠FCG＝45°

∴∴AE＝

，0）

，且AE+EG＝

∴OE＝AE﹣AO＝∴点E坐标为（设直线CE解析式为：y＝mx+n

∴

解得：m＝3，n＝﹣

∴直线CE解析式为：y＝3x﹣∴当x＝0时，y＝﹣∴点F（0，﹣∴BF＝2+＝）

＝

∴S△BFC＝×【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，锐角三角函数等知识，求出点E坐标是本题的关键．

第38页（共50页）

21．某新能源汽车销售公司销售A品牌电动汽车，今年5月份电动汽车的售价比去年同期降价了1万元，如果销售的数量相同，去年5月份的销售额为110万元，今年5月份的销售额就只有105万元．

（1）求今年5月份A品牌电动汽车的售价；

（2）该公司同时销售B品牌混合动力汽车，已知A、B品牌汽车的进价分别为20万元/辆、12万元/辆，若公司预计用不超过236万元且不少于204万元的资金购进两款汽车共15辆，求公司的进货方案有多少种？

（3）在（2）的条件下，今年5月份B品牌汽车的售价为13.8万元/辆，且每售出一辆A品牌电动汽车，政府将给予公司a万元奖励（0＜α＜2），已知该公司销售两款汽车的最大利润为28.4万元，求a的值．

【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量．

（2）关系式为：204≤A款汽车总价+B款汽车总价≤236．

（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，根据题意列出方程解答即可．

【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：

，

解得：m＝21．

经检验，m＝21是原方程的根且符合题意．

答：今年5月份A款汽车每辆售价21万元；

（2）设购进A款汽车x辆．则：

204≤20x+12（15﹣x）≤236．

解得：3≤x≤7．

∵x的正整数解为3，4，5，6，7，

∴共有5种进货方案；

（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：

W＝（21﹣20）x+（13.8﹣12）（15﹣x）+ax＝27+（a﹣0.8）x＝28.4．

当0＜a＜0.8时，不能出现18.4万元，

当0.8＜a＜2时，可能出现28.4万元，

解得：a＝1时，该公司销售两款汽车的最大利润为28.4万元．

第39页（共50页）

【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．

22．（1）如图1，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，且PD＝BG，求证：FP＝FC；

（2）如图2，正方形ABCD中，∠PCG＝45°，延长PG交CB的延长线于点F，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，作FE⊥PC，垂足为点E，交CG于点N，连结DN，求∠NDC的度数．

【分析】（1）先判断出△BCG≌△DCP（SAS），得出CP＝CG，∠BCG＝∠DCP，进而求出∠PCF＝∠PCG+∠BCG＝67.5°，再求出∠CPG＝67.5°＝∠PCF，即可得出结论；

（2）先判断出△BCG≌△DCH（ASA），得出CG＝CH，进而判断出△PCH≌△PCG（SAS），得出∠CPG＝∠CPH，再用等角的余角相等判断出∠CPF＝∠PCF，即可得出结论；

（3）先判断出∠CNP＝90°，再判断出EN＝DE，得出∠DNE＝∠NDE，设∠DCP＝α，表示出∠CED＝∠DCP＝α，∠DEP＝2α，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠BCD＝∠CBG＝∠D＝90°，

∵BG＝DP，

∴△BCG≌△DCP（SAS），

∴CP＝CG，∠BCG＝∠DCP，

∵∠PCG＝45°，

∴∠BCG+∠DCP＝45°，

∴∠DCP＝∠BCG＝22.5°，

∴∠PCF＝∠PCG+∠BCG＝67.5°，

在△PCG中，CP＝CG，∠PCG＝45°，

∴∠CPG＝（180°﹣45°）＝67.5°＝∠PCF，

∴PF＝CF；

第40页（共50页）

（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CBG＝∠BCD＝90°，

过点C作CH⊥CG交AD的延长线于H，

∴∠CDH＝90°＝∠HCG．

∴∠BCG＝∠DCH，

∴△BCG≌△DCH（ASA），

∴CG＝CH，

∵∠HCG＝90°，∠PCG＝45°，

∴∠PCH＝45°＝∠PCG，

∵CP＝CP，

∴△PCH≌△PCG（SAS），

∴∠CPG＝∠CPH，

∵∠CPD+∠DCP＝90°，

∴∠CPF+∠DCP＝90°，

∵∠PCF+∠DCP＝90°，

∴∠CPF＝∠PCF，

∴PF＝CF；

（3）如图3，连接PN，由（2）知，PF＝CF，

∵EF⊥CP，∴

PE＝CE，

∴EF是线段CP的垂直平分线，

∴PN＝CN，

∴∠CPN＝∠PCN，

∵∠PCN＝45°，

∴∠CPN＝45°，

∴∠CNP＝90°，

∵PE＝CE，

第41页（共50页）

∴EN＝CP，

在Rt△CDP中，CE＝PE，

∴DE＝CE＝CP，

∴EN＝DE，

∴∠DNE＝∠NDE，

设∠DCP＝α，

∴∠CED＝∠DCP＝α，

∴∠DEP＝2α，

∵∠PEF＝90°，

∴∠DEN＝90°+2α，

∴∠NDE＝（180°﹣∠DEN）＝45°﹣α，

∴∠NDC＝∠NDE+∠CDE＝45°﹣α+α＝45°．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，判断出EN＝DE是解本题的关键．

23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x、y轴于点A、B，直线BC分别交x、y轴于点C、B，点A的坐标为（2，0），∠ABO＝30°，且AB⊥BC．

（1）求直线BC和AB的解析式；

（2）将点B沿某条直线折叠到点0，折痕分别交BC、BA于点E、D，在x轴上是否存在点F，使得点D、E、F为顶点的三角形是以DE为斜边的直角三角形？若存在，请求第42页（共50页）

出F点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在平面直角坐标系内是否存在两个点，使得这两个点与B、C两点构成的四边形是正方形？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）解直角三角形求出B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；

（2）如图1中，根据对称性可知，当点F与O重合时，∠EF′D＝∠EBD＝90°，此时F′（0，0）；设DE交OB于K，作FH⊥DE于H．当△EFD≌△DF′E时，∠EFD＝∠DF′E＝90°，想办法求出OF的长即可解决问题；

（3）画出图形，分两种情形分别求解即可解决问题；

【解答】解：（1）在Rt△AOB中，∵OA＝2，∠ABO＝30°，

∴OB＝2，

，

在Rt△OBC中，∵∠BCO＝30°，OB＝2∴OC＝6，

∴B（0，2），C（6，0），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，

解得，

x+2，

，

∴直线AB的解析式为y＝﹣设直线BC的解析式为y＝k′x+b′则有解得，

∴直线BC的解析式为y＝

x+2．

（2）如图1中，根据对称性可知，当点F与O重合时，∠EF′D＝∠EBD＝90°，此时第43页（共50页）

F′（0，0），

设DE交OB于K，作FH⊥DE于H．当△EFD≌△DF′E时，∠EFD＝∠DF′E＝90°，

易证DK＝EH＝1，DE＝AC＝4，

∴KH＝OF＝4﹣2＝2，

∴F（﹣2，0），

综上所述，满足条件的点F坐标为（﹣2，0）或（0，0）．

（3）如图2中，

∵B（0，2∴BC＝4），C（﹣6，0），

，

，6），N（﹣2，2+6）或M′（2当BC为正方形BCMN的边时，M（﹣6﹣2﹣6，﹣6），N′（2，2﹣6）．

当BC为正方形的对角线时，M″（﹣3﹣，3+），N″（﹣3，﹣3）．

第44页（共50页）

【点评】本题考查一次函数综合题、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

24．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE⊥AC，垂足为E．连接BE

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于4，求AE的长．

【分析】（1）可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明；

（2）过B点作AE的垂线交AE于F点，设AE＝x，根据AAS可证△ABF≌△CDE，利用同底等高说明△CDE和△BCE的面积关系，解方程即可求解．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠DCB＝180°，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠ADC+∠BCD＝180°，

∴AD∥BC，

∵AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）解：过B点作AE的垂线交AE于F点，

设AE＝x，

∵△ABE是等边三角形，

∴∠BAE＝60°，

∴在Rt△ABF中，AF＝，BF＝∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAC＝∠DCE，

在△ABF与△CDE中，

，

第45页（共50页）

，

∴△ABF≌△CDE（AAS），

∴EC＝AF＝，DE＝BF＝，

∴S△CDE＝××＝，

∵△CDE和△BCE等底等高，

∴S△CDE＝S△BCE＝2∴＝2，

∴x＝4．

故AE的长是4．

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，及直角三角形的面积公式和全等三角形的证明．解决本题的关键是熟练掌握两个三角形等底等高面积相等的知识点．

25．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC等于α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形．

（2）求∠OAD的度数．

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

【分析】（1）只要证明OC＝OD，∠OCD＝60°即可；

（2）想办法求出∠OAC+∠OBC＝45°即可解决问题；

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（3）分三种情形讨论求解即可解决问题；

【解答】解：（1）∵△BOC旋转60°得到△ADC，

∴△BCO≌△ACD，

∴OC＝CD，且∠OCD＝60°

则△OCD是等边三角形；

（2）∵△ABC为等边三角形

∴∠BAO+∠OAC＝60°，∠ABO+∠OBC＝60°

∵∠AOB＝105°

∴∠BAO+∠ABO＝75°，

∴∠OAC+∠OBC＝120°﹣75°＝45°

∵△BOC旋转60°得到△ADC，

∴△BCO≌△ACD，

∴∠DAC＝∠OBC

∴∠OAD＝∠OAC+∠CAD＝45°

（3）若△AOD是等腰三角形

∵由（1）知△OCD是等边三角形，

∴∠COD＝60°

由（2）知∠OAD＝45°

当OA＝OD时，∠AOD＝90°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣90°＝105°

当OA＝AD时，∠AOD＝67.5°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣67.5°＝127.5°，

当AD＝OD时，∠AOD＝45°，∠α＝360°﹣105°﹣60°﹣45°＝150°，

综上所述：当α＝105°，127.5°或150°时，△AOD是等腰三角形

第47页（共50页）

【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

26．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：AB＝CF；

（2）连接DE，若AD＝2AB，求证：DE⊥AF．

【分析】（1）由在▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；

（2）由AD＝2AB，AB＝FC＝CD，可得AD＝DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE＝EF，然后利用三线合一，证得结论．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DF，

∴∠ABE＝∠FCE，

∵E为BC中点，

∴BE＝CE，

在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB＝CF；

（2）∵AD＝2AB，AB＝FC＝CD，

∴AD＝DF，

∵△ABE≌△FCE，

∴AE＝EF，

第48页（共50页）

∴DE⊥AF．

【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

27．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t秒．

（1）求CD的长；

（2）t为何值时？四边形PBQD为平行四边形；

（3）在点P，点Q的运动过程中，当0＜t≤2和6＜t≤8时，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理求出DM，结合图形计算即可；

（2）根据题意用t表示出PB、DQ，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列出方程，解方程即可；

（3）分点P在线段AB上、点P在线段CD上（P在Q的右侧、P在Q的左侧）两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：（1）过点A作AM⊥CD于M，

则四边形AMCB为矩形，

∴AM＝BC＝8，CM＝AB＝10，

根据勾股定理，DM＝∴CD＝16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，

由题知：AP＝3t，BP＝10﹣3t，DQ＝2t，

∴10﹣3t＝2t，

第49页（共50页）

＝6，

解得t＝2；

（3）①当点P在线段AB上时，到B点时是BP＝10﹣3t，BC＝8，

∴×（10﹣3t）×8＝20，

解得，t＝；

②当点P在线段CD上时，P点与Q点相遇时，

则2t+3t＝10+8+16，

解得，t＝，即相遇时间是，

，

秒，即0＜t≤时，

若点P在Q的右侧，即6≤t≤则PQ＝34﹣（2t+3t）＝34﹣5t，

∴×（34﹣5t）×8＝20，

解得：t＝＜6（不合题意，舍去）；

＜t≤8，

若点P在Q的左侧，即则PQ＝2t+3t﹣34＝5t﹣34，

∴×（5t﹣34）×8＝20，

解得：t＝

．

∴综合得出满足条件的t值存在，其值分别为t＝或

【点评】本题考查的是平行四边形的判定、三角形的面积、矩形的判定和性质，掌握矩形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

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