等边三角形的判定国家获奖教案

1.1.4 等腰三角形教学设计

年级

八

学科

数学

执教者：

邓伟仕

教学课题

设

计

者

1.1.4 等腰三角形

课时安排

知识目标

2 设计日期

理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

能力目标

①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建教学目标

立初步的符号感，发展抽象思维．

②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；

③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。

教学重点

①等边三角形判定定理的发现与证明. ②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明. 教学重难点

教学难点

①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明. ②引导学生全面、周到地思考问题.

教学准备

两个带30度角的三角板

教学流程

修改建议

第一环节：提问问题，引入新课

活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。

活动目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。

活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。这是教师可以适时提出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？

下面是实际教学中的部分师生活动实况：

[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．

[生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．

(此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．) [生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费! [师]给三个角都是60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢?下面同学们可在小组内交流自己的看法．

(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．

(教师应给学生自主探索、思考的时间)

第二环节：自主探索

活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：

等腰三角性质

等边对等角

判定的条件

等角对等边

形（含等边“三线合一”即等有一角是60°

三角形）

腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合

等边三角形三个三个角都相等的角都相等，且每个三角形是等边三角都是60°

角形

活动目的：经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。

活动注意事项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：

顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；

底角是60°的等腰三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形；

三条边都相等的三角形是等边三角形。

对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路．并要求学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到．

第三环节：实际操作

提出问题

活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天

我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。拿出三角板，做一做：

用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗? 在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．

活动目的：让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

活动注意事项与效果：学生一般可以得出下面两种图形：其中第11个图形是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=

AB，从而2得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。具体的说明过程可以如下：

方法1：因为△ABD≌ACD，所以AB=AC．又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

方法2：图(1)中，∠B=∠C=60，BD(1)CBD(2)CAA∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．

如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论。然后在学生得

到该结论的基础上，再证明该定理。

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．

求证：BC=12

AB．

分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

证明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°. 延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如图所示)．

∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°

A∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．

∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．

∴△ABD是等边三角形(有一个角是B60°的等腰三角形是等边三角形)．

CD∴BC=1

BD=122

AB．

第四环节：变式训练

巩固新知

活动1：直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?如果是，请你证明它．

在师生分析的基础上，给出证明：

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12

AB．

求证：∠BAC=30°

证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．

又∵AC=AC．

AA∴△ACB≌△ACD(SAS)．

∴AB=AD．

∵CD=BC，∴BC=12

BD．

又∵BC=12

AB，∴AB=BD．

BBCCD

作业

设计

课本第7页第1/2/3题

板

书

设

计

等腰三角形（四）

一.

等边三角形判定定理

二.

含30°角的直角三角形的性质定理

教

后

反

思