利用完全平方差公式进行因式分解优质课教案

《3 公式法》教案

第1课时

教学目标

1、经历通过整式乘法的平方差公式逆向得出公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维．

2、会用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）．

教学重难点

用公式法（直接用公式不出两次）分解因式（指数是正整数）．

教学过程

一、创设情景，导出问题

（1）观察多项式x2-25，9x2-y2，它们有什么共同特征？

（这是对平方差公式的再认识，通过整式乘法的逆变形得到分解因式的方法，让学生进一步感受到整式乘法与分解因式的互逆关系．）

（2）将它们分别写成两个因式的乘积，说明你的理由，并与同伴交流．

（让学生充分交流，加深对这种方法的理解．）

二、探索交流，概括概念

讨论：

（1）多项式的各项都能写成平方的形式．如x2-25中，x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x2-y2也是如此．

（2）逆用乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，可知x2-25= x2-52=（x+5）（x-5），9x2-y2=（3x）2-y2=（3x+y）（3x-y）．

所以我们可以借助乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2的逆过程得到乘法公式a2-b2=（a+b）（a-b）

三、巩固应用，拓展研究

例1、把下列各式分解因式：

（直接利用平方差公式分解因式，让学生体会公式中的a，b在此例中分别是什么．）

提问：a2-b2=（a+b）（a-b）中a，b都表示单项式吗？它们可以是多项式吗？

例2、把下列各式分解因式：

（1）9（m+n）2-（m-n）2；（2）2x3-8x；

解：（1）9（m+n）2-（m-n）2=4（2m+n）（m+2n）

（进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示数，而且可以表示其他代数式．）（2）2x3-8x=2x（x2-4）=2x（x2-2x）=2x（x+2）（x-2）

（引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提公因式，然后进一步分解，直至不能再分解为止．）

四、应用加强，课内深化

如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分拼成一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个矩形，通过计算两个阴影部分的面积，可以得到一个分解因式的公式，这个公式是怎样的？

第2课时

教学目标

1、会把多项式经过适当变形，成为完全平方式的形式，能较熟练地运用完全平方公式把多项式分解因式．

2、通过综合运用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式把多项式因式分解，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．

教学重难点

重点：把多项式通过适当的代换、变形转化为完全平方式，运用完全平方公式分解因式．

难点：综合运用多种方法把多项式因式分解．

教学过程

一、导入新课

问：什么叫完全平方式？试举例加以说明．

答：形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，例如多项式9x2－12xy+4y2就是一个完全平方式．

问：多项式－x2－4y2+4xy是否符合完全平方式的结构特点？这样的多项式能否进行因式分解？

这节课我们就要解决这个问题．

二、新课

例1、把－x2－4y2+4xy分解因式．

分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式．

解：－x2+4y2+4xy=（x2－4xy+4y2）

=－[x2－2·2x·y+（2y）2] =－（x－2y）2．

指出：

（1）在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式．

（2）在对类似例1的多项式因式分解时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式因式分解．

例2、把（x+y）

2－6（x+y）+9分解因式．

分析：多项式中的两个平方项分别是（x+y）2和32，另一项6（x+y）=2·（x+y）·3，符合完全平方式的形式，这里“x+y”相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式变为（x+y）2－6（x+y）+9=a2－6a+9，因而能运用完全平方公式，得到（a－3）

2．

在解题过程中，可以把代换这一步骤省略．

解：（x+y）2－6（x+y）+9=（x+y）2－2（x+y）·3+32=（x+y－3）2．

指出：把较复杂的多项式（x+y）2－6（x+y）2+9，通过代换a=x+y，使原多项式转化为关于字母a的二次三项式a2－6a+9，从而可以用完全平方公式分解因式，这种通过代换解决问题的方法是数学中经常用到的一种重要的思想方法．

例3、把m2+10m（a+b）+25（a+b）

2分解因式．

问：观察和分析这个多项式，是否符合完全平方式形式？为什么？

答：可以把m2+10m（a+b）+25（a+b）2写成m2+2m·5（a+b）+[5（a+b）]2．这里m相当于完全平方式里的a，5（a+b）相当于完全平方式里的b．原式是完全平方式，可以运用完全平方公式因式分解．

解：m2+10m（a+b）+25（a+b）2=m2+2m·5（a+b）+[5（a+b）]2

=[m+5（a+b）]2=（m+5a+5b）2．

指出：通过以上各例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式（数），也可以是多项式．

例4、把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2；

（2）81m4－72m2n2+16n4．

解：（1）3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2．

指出：如果多项式的各项有公因式，应该先提出这个公因式，再进一步分解因式．

（2）81m4－72m2n2+16n4=（9m2）

2－2·9m2·4n2+（4n2）2=（9m2－4n2）2．

问：做到这一步还能不能继续再分解？

答：括号内的多项式是平方差形式，可以运用平方差公式分解因式．

原式=（9m2－4n2）2

=[（3m）2－（2n）2]2

=[（3m+2n）（3m－2n）]2

=（3m+2n）2（3m－2n）2．

指出：在把多项式因式分解时，应把多项式分解到不能再分解为止．

三、课堂练习

把下列各式分解因式：

（1）（x+y）2－10（x+y）+25；（2）－2xy－x2－y2；（3）ax2+2a2x+a3；（4）－a2c2－c4+2ac3；

（5）（a+b）2－16（a+b）+64；（6）（x2+2x）2+2（x2+2x）+1；（7）（m2－6）2（m2－6）+9；（8）a4－8a2b2+16b4．