一元一次不等式与一次函数的综合应用全国优秀课堂实录

5 一元一次不等式与一次函数

第1课时

一元一次不等式与一次函数的关系

教学目标

一、基本目标

1．了解一元一次不等式与一次函数的关系．

2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较．

3．通过一元一次不等式与一次函数的图象的结合，培养学生的数形结合意识．

二、重难点目标

【教学重点】

了解一元一次不等式与一次函数之间的关系．

【教学难点】

根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P50的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

b－，0，与y轴的1．一次函数y＝ax＋b的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标是a交点坐标是(0，b)；要作一次函数的图象，只需两个点即可．

52．一次函数

y ＝

2x－5与x轴的交点坐标是2，0，与y轴的交点坐标是(0,5)．

3．一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切联系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于某个值时即为不等式．

环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】在如图所示的同一平面直角坐标系内画出一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象，根据图象求：

(1)方程－x＋4＝2x－5的解；

(2)当x取何值时，y1＞y2?

【互动探索】(引发学生思考)(1)用“两点法”画出一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象→根据两图象的交点即可得出－x＋4＝2x－5的解；(2)y1＞y2→不等式－x＋4>2x－5→函数y＝－x＋4在函数y＝2x－5上方的对应的x的取值→观察图象确定解集．

【解答】画出的函数图象如图所示．

(1)∵一次函数y1＝－x＋4和y2＝2x－5的图象相交于点(3,1)，

∴方程－x＋4＝2x－5的解为x＝3. (2)由图可知，当x＜3时，y1＞y2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解此题的关键．

3【例2】如图，直线l1：y1＝－x＋m与y轴交于点A(0,6)，直线l2：y2＝kx＋1分别与4x轴交于点B(－2,0)，与y轴交于点C.两条直线相交于点D，连结AB. (1)求两直线交点D的坐标；

(2)求△ABD的面积；

(3)根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．

3【互动探索】(引发学生思考)(1)将A(0,6)代入y1＝－x＋m求出m的值，将B(－2,0)代4入y2＝kx＋1求出k的值→得到两函数的解析式→组成方程组解求出点D的坐标；(2)由y2

1＝x＋1得到点C的坐标→分别求出△ABC和△ACD的面积→△ABC和△ACD面积相加求2得△ABD的面积；(3)由图可直接得出y1＞y2时自变量x的取值范围．

31【解答】(1)将A(0,6)代入y1＝－x＋m，得m＝6.将B(－2,0)代入y2＝kx＋1，得k＝.42y＝－4x＋6，联立方程组，得1y＝2x＋1，＝15. 3

x＝4，

解得

故点D的坐标为(4,3)．

y＝3.

111(2)由y2＝x＋1可知，点C的坐标为(0,1)，故S△ABD＝S△ABC＋S△ACD＝×5×2＋×5×4222(3)由图可知，在D点左侧时，y1＞y2，即x＜4时，y1＞y2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)根据一次函数图象求一元一次不等式的关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应函数值的大小．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．一次函数y＝2x－4的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则一元一次不等式2x－4≤0的解集为(

A

) A．x≤2

C．x≥2

B．x<2 D．x>2 2．一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a>0；③当x>3 时，y1

C

)

A．0

C．2

B．1

D．3 3．一次函数y＝kx＋b(k≠0)中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：

x y …

…

－2 8 －1 5 0 2 1 －1 2 －4 …

…

那么关于x的不等式kx＋b≥－1的解集是x≤1. 4．已知2x－y＝0，且x－5>y，则x的取值范围是x<－5. 25．如图，函数y＝2x和y＝－x＋4的图象相交于点A. 3(1)求点A的坐标；

2(2)根据图象，直接写出不等式2x≥－x＋4的解集．

3

3y＝2x，x＝2，3解：(1)联立

解得

∴点A的坐标为22，3. y＝－x＋4，3y＝3.23(2)由图象可知，不等式2x≥－x＋4的解集为x≥. 32活动3

拓展延伸(学生对学) 【例3】对于实数a、b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b.如：max{4，－2}＝4，max{3,3}＝3.若关于x的函数为y＝max{x＋3，－x＋1}，则该函数的最小值是____．

y＝x＋3，x＝－1，【互动探索】联立两函数解析式成方程组，得

解得

y＝－x＋1，y＝2.

∴当x＜－1时，y＝max{x＋3，－x＋1}＝－x＋1＞2；当x≥－1时，y＝max{x＋3，－x＋1}＝x＋3≥2，

∴函数y＝max{x＋3，－x＋1}的最小值为2. 【答案】2 【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了一次函数与一元一次不等式，联立两函数解析式成方程组求出交点坐标是解题的关键．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时

一元一次不等式与一次函数的综合应用

教学目标

一、基本目标

1．进一步体会一元一次不等式在现实生活中的应用．

2．通过用不等式的知识解决实际问题，发展学生解决问题的能力．

二、重难点目标

【教学重点】

运用一元一次不等式与一次函数解决实际问题．

【教学难点】

认真审题，找出题中的等量或不等关系，全面地考虑问题．

教学过程

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P51～P52的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．在一次函数y＝－2x＋8中，若y>0，则(

B

) A．x>4

C．x>0

B．x<4

D．x<0 2．如图所示的是一次函数y＝kx＋b的图象，则当y<2时，x的取值范围是(

C

)

A．x<1

C．x<3

B．x>1

D．x>3 73．已知y1＝3x＋2，y2＝－x－5，若y1>y2，则x的取值范围是

x>－. 44．已知一次函数y＝(a＋5)x＋3的图象经过第一、二、三象限，则a的取值范围是

a>－5. 环节2

合作探究，解决问题

活动1

小组讨论(师生互学) 【例1】某学校计划购买若干台电脑，现在从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？

【互动探索】(引发学生思考)分别表示出在甲、乙商场购买电脑的台数和价钱的函数关

系→比较y的大小，选择哪家商场购买→当y甲>y乙时，学校选择乙商场购买更优惠；当y甲＝y乙时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；当y甲＜y乙时，学校选择甲商场购买更优惠．

【解答】设该学校计划购买x台电脑，在甲商场购买花费y甲元，在乙商场购买花费y乙元．

根据题意，得y甲＝6000＋(x－1)×6000×(1－25%)＝4500x＋1500(x＞1的整数)；

y乙＝x·6000×(1－20%)＝4800x(x＞1的整数)．

当y甲＞y乙时，即4500x＋1500＞4800x，解得x＜5；

当y甲＝y乙时，即4500x＋1500＝4800x，解得x＝5；

当y甲＜y乙时，即4500x＋1500＜4800x，解得x＞5. 综上所述，当购买少于5台电脑时，学校选择乙商场购买更优惠；当购买5台电脑时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；当购买多于5台电脑时，学校选择甲商场购买更优惠．

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题用一次函数表示两个变量之间的关系，再通过比较两个函数的函数值得到对应的自变量的取值范围，从而解决实际问题．

活动2

巩固练习(学生独学) 1．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于商品积压，商品准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打(

B

) A．6折

C．8折

B．7折

D．9折

2．小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，如果每支钢笔5元，每个笔记本2元，那么小明最多能买13支钢笔．

3．某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1(元)、y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是x＞300.

4．某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书，若每月租书数量为x册．

(1)写出零星租书方式应付金额y1(元)与租书数量x(册)之间的函数关系式；

(2)写出会员卡租书方式应付金额y2(元)与租书数量x(册)之间的函数关系式；

(3)小军选取哪种租书方式更合算？

解：(1)y1＝x. (2)y2＝0.4x＋12. (3)当y1＝y2时，x＝0.4x＋12，解得x＝20；当y1＞y2时，x＞0.4x＋12，解得x＞20；当

y1＜y2时，x＜0.4x＋12，解得x＜20.综上所述，当小军每月租书少于20册时，采用零星租书方式合算；当每月租书20册时，两种方式费用一样；当每月租书多于20册时，采用会员卡租书方式合算．

活动3

拓展延伸(学生对学) 【例2】为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．

(1)若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，则购进A、B两种树苗各多少棵？

(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【互动探索】(1)根据题设条件，求出等量关系→列一元一次方程求解；(2)根据题设中的不等关系列出相应的不等式→求解不等式确定最值．

【解答】设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵．

(1)根据题意，得80x＋60(17－x)＝1220，

解得x＝10，则17－x＝17－10＝7. 故若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，则购进A种树苗10棵，B种树苗7棵．

17(2)由题意，得17－x. 2设所需费用为w元，则w＝80x＋60(17－x)＝20x＋1020. ∵20>0，

∴w随x的增大而增大，

∴当x＝9时，费用最省，此时17－x＝17－9＝8，则所需费用为20×9＋1020＝1200(元)．

即购买9棵A种树苗，8棵B种树苗的费用最省，此方案所需费用1200元．

【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 利用一元一次不等式与一次函数解决决策型应用题的步骤：

练习设计

请完成本课时对应练习！