正方形教学设计(第二课时)

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9．4

矩形、菱形、正方形

第5课时

正方形的性质与判定

活动1

知识准备

如图9－4－15，写出①②③④处的定义和判定：

图9－4－15 ①________________________________________________________________________；

②________________________________________________________________________；

③________________________________________________________________________；

④________________________________________________________________________. 活动2

教材导学

1．正方形的定义

图9－4－16 (1)如图9－4－16，AB＝BC，∠ABC＝90°，用画平行四边形的方法，以AB，BC为邻边，画▱ABCD，那么四边形ABCD就是我们小学里学习过的________，请参考矩形和菱形的定义，在平行四边形的基础上给正方形下个定义．

(2)阅读教材第81页正方形的定义，其中“并且”能改为“或”吗？

◆

知识链接——[新知梳理]知识点一

2．正方形的判定

根据正方形的定义：

(1)有一组邻边相等的矩形一定是________；

(2)有一个角是直角的菱形一定是________．

◆

知识链接——[新知梳理]知识点二

3．正方形的性质

(1)教材第81页图9－29显示出正方形、菱形、矩形、平行四边形四个概念之间有什么版权归全品公司所有，违者必究

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关系？

(2)完成教材第82页练习第1题．

◆

知识链接——[新知梳理]知识点三

►

知识点一

正方形的定义

有一组邻边________并且有一个角是________的平行四边形叫做正方形．

►

知识点二

正方形的判定

1．有__________的矩形是正方形．

2．有__________的菱形是正方形．

►

知识点三

正方形的性质

正方形具备平行四边形、矩形、菱形的一切性质，具体体现在下面几个方面．

边：________，________．

角：____________．

对角线：________________________________________________________________________. 对称性：既是________对称图形，又是________对称图形，有________条对称轴．

探究一

正方形性质的运用

[教材补充例题]

如图9－4－17，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AD，DC上的点，且∠EBF＝45°，则EF与CF＋AE相等吗？请说明理由．

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[归纳总结]想说明一条线段等于两条线段的和，一般有两种方法：截取法和延长法．截取法是在长线段中截去一条短线段，再说明剩余部分等于另一条短线段；延长法是将一条短线段延长，使整条线段的长等于两条短线段长的和，再说明整条线段的长等于长线段的长．通过全等说明两线段相等是常用方法．

探究二

正方形的性质与判定的综合应用

[教材例5变式题]

如图9－4－18，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形EFGH是正方形；

(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由；

(3)求四边形EFGH面积的最小值．

图9－4－18 [归纳总结] 要确定一个四边形是正方形，可以先说明所给的四边形是菱形，再说明其中有一个角是直角；也可以先说明所给的四边形是矩形，再说明其中的一组邻边相等；还可以先说明所给的四边形是矩形，再说明所给的四边形是菱形．

[反思] 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗？如果不是，应该如何适当添加条件使四边形是正方形？

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____________当堂检测(二十)____________

9．4

第5课时

正方形的性质与判定

(建议用时：10分钟) 1．如图20－1，点E在正方形ABCD内，且∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(

) A．48

B．60

C．76

D．80 2．[2016·南充]

有下列四边形：①正方形，②矩形，③菱形．对角线一定相等的是(

) A．①②③

B．①②

C．①③

D．②③

图20－1

图20－2 3．如图20－2，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________．

4．如图20－3，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，AD平分∠BAC. (1)试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？请说明理由．

图20－3

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检测一下自己的学习效果吧！未达标(0—5分)

Ｋ达标(6—8分)

1—3题每题各2分，4题4分，共10分得分：

Ｋ优秀(9—10分)Ｋ

__课时作业(二十)__

[9.4

第5课时

正方形的性质与判定]

一、选择题

1．正方形的边和对角线把正方形分成的等腰直角三角形共有(

) A. 4个

B. 6个

C. 8个

D．10个

2．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是(

) A．选①②

B．选②③

C．选①③

D．选②④

3．[2016·宿迁]

如图K－20－1，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为(

) A.2

B.3

C.2

D．1

图K－20－1 4．如图K－20－2所示，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是(

)

图K－20－2 A．3 cm

B．4 cm

C．5 cm

D．6 cm

5．如图K－20－3所示，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC＝(

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图K－20－3 A．45°

B．55°

C．60°

D．75°

二、填空题

6．如图K－20－4，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值为________．

图K－20－4 三、解答题

7．如图K－20－5，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF.求证：DE＝BF.

图K－20－5

8．如图K－20－6所示，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. (1)求证：△BED≌△CFD；

(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．

图K－20－6

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9．[2016·乐山]

如图K－20－7，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.求证：CE＝DF.

图K－20－7

10．如图K－20－8，在对角线长为8 cm的正方形ABCD中，E为BC边上的一点，EF⊥BD，EG⊥AC，垂足分别为F，G. (1)试求EF＋EG的值；

(2)如果点E在BC边上运动(不与点B，C重合)，那么EF＋EG的值会发生变化吗？

图K－20－8

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[2016·达州]

在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF. (1)观察猜想：

如图K－20－9①，当点D在线段BC上时，

①BC与CF的位置关系为________；

②BC，CD，CF之间的数量关系为________．(将结论直接写在横线上) (2)数学思考：

如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确的结论，再给予证明．

(3)拓展延伸：

如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB1＝2 2，CD＝BC，请求出GE的长．

4

图K－20－9

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参考答案

【新知自学梳理】

[探究新知] 活动1 ①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

②对角线相等的平行四边形是矩形

③对角线垂直的平行四边形是菱形

④有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

活动2 1．解：(1)正方形

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

(2)不能．

2．(1)正方形

(2)正方形

3．解：(1)平行四边形中包括矩形和菱形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形．

(2)略．

[新知梳理] 知识点一

相等

直角

知识点二

一组邻边相等

一个角是直角

知识点三

平行

相等

四个角均是直角

互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角

中心

轴

四

【重难互动探究】

例1

[解析] 可考虑将FC延长至点P，使CP＝AE，这样，只需说明EF＝PF即可．

解：相等．理由如下：如图，延长FC到点P，使CP＝AE，连接BP. 版权归全品公司所有，违者必究

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∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠BCD＝∠BCP＝90°. ∵AE＝CP，∴△ABE≌△CBP，

∴BE＝BP，∠ABE＝∠CBP. ∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝90°，

∴∠CBP＋∠EBC＝90°，即∠EBP＝90°. ∵∠EBF＝45°，

∴∠PBF＝∠EBP－∠EBF＝90°－45°＝45°，

∴∠EBF＝∠PBF. 又∵BE＝BP，BF＝BF，

∴△EBF≌△PBF，

∴EF＝PF. ∵PF＝CP＋CF，CP＝AE，∴EF＝CF＋AE. 例2

解：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA. ∵AE＝DH，

∴BE＝AH. 又∵AE＝BF，

∴△AEH≌△BFE，

∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF. 同理：FE＝GF＝HG，

∴EH＝FE＝GF＝HG，

∴四边形EFGH是菱形．

∵∠A＝90°，

∴∠AHE＋∠AEH＝90°，

∴∠BEF＋∠AEH＝90°，

∴∠FEH＝90°，

∴菱形EFGH是正方形．

(2)直线EG经过正方形ABCD的中心．

理由如下：如图①，连接BD交EG于点O. ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AB＝DC，

∴∠EBD＝∠GDB. ∵AE＝CG，

∴BE＝DG. 又∵∠EOB＝∠GOD，

∴△EOB≌△GOD，

∴BO＝DO，即O为BD的中点，

∴直线EG经过正方形ABCD的中心．

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(3)如图②，连接FH，EG. ∵四边形EFGH是正方形，

1∴正方形EFGH的面积为EG·FH，

2当E，F，G，H分别为正方形ABCD各边的中点时，EG，FH最小，为正方形ABCD的边长8 cm，

1∴正方形EFGH的面积的最小值为×8×8＝32(cm2)．

2

【课堂总结反思】

[反思] 解：不是．可以把条件中的“四边形”改为“平行四边形”或在“对角线互相垂直”后面添加“平分”这一条件．

当堂检测(二十) 1．C

2.B

3.2－1 4．解：(1)四边形AEDF是菱形．理由：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴ED＝AE，∴▱AEDF为菱形．

(2)当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．理由：∵四边形AEDF是菱形，∠BAC＝90°，∴菱形AEDF是正方形．

【作业高效训练】

课堂达标

1．[答案] C

2．[答案] B

3．[答案] B

4．[解析] A

根据题意，得DN＝EN.在Rt△ECN中，根据勾股定理可得CN＝3 cm.故选A. 5．[解析] C

由题意易知∠BFC＝∠BAC＋∠ABE，AB＝AD＝AE，故∠ABE＝∠AEB.∵∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝150°，∴∠ABE＝15°.又∵∠BAC＝45°，∴∠BFC＝60°. 6．[答案] 10

[解析] 利用正方形的轴对称性，点B，D关于直线AC对称，连接BM交AC于点N，版权归全品公司所有，违者必究

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N就是所求的点，它使DN＋MN最小．在Rt△MBC中，BM＝DN＋MN＝MC2＋BC2＝（8－2）2＋82＝10. 7．[解析] 由正方形的性质，结合已知条件，易知△DCE≌△BCF. 证明：因为四边形ABCD是正方形，

所以BC＝DC，∠BCD＝90°. 因为E为BC延长线上的点，

所以∠DCE＝90°，

所以∠BCD＝∠DCE. 又因为CE＝CF，所以△DCE≌△BCF，

所以DE＝BF.

8．证明：(1)因为DE⊥AB，DF⊥AC，

所以∠BED＝∠CFD＝90°. 因为AB＝AC，所以∠B＝∠C. 又因为D是BC的中点，所以BD＝CD，

所以△BED≌△CFD. (2)因为DE⊥AB，DF⊥AC，

所以∠AED＝∠AFD＝90°. 因为∠A＝90°，所以四边形DFAE为矩形．

因为△BED≌△CFD，

所以DE＝DF，所以四边形DFAE为正方形．

9．证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°. 又∵E，F分别是AB，BC的中点，

11∴BE＝AB，CF＝BC，

22∴BE＝CF. 在△CEB和△DFC中，

BC＝CD，∠EBC＝∠FCD，

BE＝CF，∴△CEB≌△DFC，

∴CE＝DF. 10．[解析] 易知四边形DFEG是矩形，△CEG是等腰直角三角形．

解：(1)因为四边形ABCD为正方形，

所以AC⊥BD，且OB＝OC，∠OCE＝45°. 因为EF⊥BD，EG⊥AC，

所以易得△EGC为等腰直角三角形，四边形OFEG为矩形，

所以EF＝OG，EG＝GC，

所以EF＋EG＝OC＝4 cm. (2)不会发生变化，由(1)的解题过程知EF＋EG的值与点E的位置无关．

数学活动

解：(1)①在正方形ADEF中，AD＝AF. ∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF. AD＝AF，在△DAB与△FAC中，∠BAD＝∠CAF，

AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴∠B＝∠ACF，

∴∠ACB＋∠ACF＝∠ACB＋∠B＝90°，

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即CF⊥BC. 故答案为垂直．

②由①知△DAB≌△FAC，

∴CF＝BD. ∵BC＝BD＋CD，

∴BC＝CF＋CD. 故答案为BC＝CF＋CD. (2)当点D在线段CB的延长线上时，结论①仍然成立，结论②不成立，正确结论：BC＝CD－CF. 证明：∵四边形ADEF是正方形，

∴AD＝AF，∠DAF＝90°. ∵∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF. 在△DAB与△FAC中，

AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，

AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，

∴∠ABD＝∠ACF＝135°，BD＝CF. ∵∠ACB＝45°，

∴∠DCF＝∠ACF－∠ACB＝90°，

∴CF⊥BC. ∵BC＝CD－BD，∴BC＝CD－CF. 综上所述，BC⊥CF且BC＝CD－CF. (3)如图，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EM⊥BD于点M，EN⊥CF于点N.

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AB＝2 2，

1∴BC＝4，AH＝BC＝2. 211∵CD＝BC＝1，CH＝BC＝2，

42∴DH＝3. 由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5. ∵四边形ADEF是正方形，

∴AD＝DE，∠ADE＝90°. ∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四边形CMEN是矩形，

∴NE＝CM，EM＝CN. ∵∠AHD＝∠ADE＝∠EMD＝90°，

∴∠ADH＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，

∴∠ADH＝∠DEM. ∠ADH＝∠DEM，在△ADH与△DEM中，∠AHD＝∠DME，

AD＝DE，∴△ADH≌△DEM，

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∴EM＝DH＝3，DM＝AH＝2，

∴CN＝EM＝3，EN＝CM＝3. ∵∠ABC＝45°，∠BCF＝90°，

∴∠BGC＝45°，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG＝BC＝4，

∴GN＝1，

∴EG＝GN2＋EN2＝10.

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