1.2.1 充要条件特级教师教学实录

《充分条件与必要条件》教学设计

一、设计理念

著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力. 二、教材分析

1.

本节教材的地位、作用

数学活动离不开对问题进行等价转化与非等价转化, 充分条件、必要条件、充要条件及有关知识是进行这些转化的逻辑基础，它们是研究命题的条件与结论之间逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一,虽然经过初中的学习，学生已经具备了一定的逻辑推理能力，但只有掌握了充分、必要条件的知识,并灵活运用它们进行推理判断，才可以说是建立起了保证数学活动顺利进行的完整的逻辑结构.为了提高这部分内容的学习质量，在“充要条件”这节内容前,教材安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫. 并把充分、必要条件的定义安排在第一课时，第二课时学习充要条件. 因为我所教的学生是省一级学校的实验班，学生整体素质较好，同时为了理顺知识间的逻辑关系，让学生能在比较、识别中把握三个概念的内涵，教学中我对这部分内容进行了整合处理，本节课是第一课时，完成三个定义的学习以及初步运用，第二课时进行应用训练学习. 但从学生学习的角度看,学生在学习充要条件这一概念时的知识储备仍不够丰富,理解和掌握这些内容仍有一定难度,因此, 教师在进行这一内容的教学时,不可拔高要求,追求一步到位,而要在今后的教学中滚动式逐步深化,使之与学生的知识结构同步发展、完善. 2．教学目标

⑴

知识与技能：

初步理解充分条件与必要条件以及充要条件的概念；基本掌握判断充要关系的方法与步骤. ⑵

过程与方法：

从实例探究中感知概念；从原命题及逆否命题的对比分析中形成概念；从发散练习题的构造中理解概念；从集合的角度深化概念.

⑶

情感、态度与价值观：

在对命题的条件与结论间逻辑关系的探究中培养学生思维的严谨性；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情.

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3．学生情况

我授课的学生是省一级学校实验班的学生，整体素质较好。 4．教学重点、难点

本节课介绍了充分条件、必要条件和充要条件三个概念,这三个概念本身是重点.由于这些概念较抽象,与学生的原有思维习惯又有差异. 因此,对三个概念的理解以及运用它们解决相关问题也是本节内容的难点.

重点：⑴

充分条件、必要条件、充要条件概念的理解；

⑵

初步判断给定命题的条件与结论之间的关系. 难点：⑴

在pq中，q是p的必要条件的理解；

⑵

如何判断p是q的什么条件；

⑶

在判断命题的条件与结论之间的关系时，条件p的确定. 三、教学方法和手段

1.

教学方法

基于本节课的特点，在教学中主要采用探究式教学法.

师生互动探究、逆向思维探究等

2. 教学手段

由于这是充要条件的概念起始课,文字信息量较普通的数学课要大,因此用软件自制了课件,以简化教师板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益.

⒊ 教学流程

说明： 学生活动； 师生共同活动

；

感知概念

形成概念

理解概念

逆向思维探究

深化概念

小结作业

师生互动探究

四、教学程序

教 学 过 程

教 学 内 容

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教师导拨

与学生活动

教学

用具

设计意图

教 学 过 程

教 学 内 容

一、感知概念

⒈

判断下列“若p则q”形式命题的真假，并研究其逆命题的真假. ⑴

p：小明是广州人，q：小明是中国人；

⑵

p：x5

，

q：x0

；

22⑶

p：

xy，

q：xy；

⑷

p：ABA，

q：AB；

电脑

显示

题目

和表

格.

从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.1、2两组问题在这里可以起到承上启下的作用，既复习了前面所学知识，又找准了学生知识结构上的生长点，为后面充分条件和必要条件定义的学习做准备.

以此让学生认识到命题中的条件与结论之间应该具备某种关系，为下面探究活动提出了问题，并引出课题

教师导拨

与学生活动

教学

用具

设计意图

上课时教师首先给出22pq⑸

：

ab，

：a>b；

问题，之后给答:

学生时间思原命题

逆命题

考.学生根据⑴

真

假

已经学过的⑵

真

假

知识很容易⑶

假

真

回答. 真

真

⑷

⑸

假

假

⒉

写出⑴的逆否命题，并判断真假. 答：“若q则p”

即：小明不是中国

人则小明就不是广州人. 真命题.（可以根

据逆否命题与原命题等价判断）. 学生会想⒊

感知概念、引出课题

“我是问题：能否改变⑴中的条件p，使原命题到改成福州人”等仍是真命题？

命题中的条件与结论之间应该具备某种关等.但不能改“我是纽约系，那么这种关系又是什么呢? 这是本节成课要讨论的中心问题——充分条件与必要人”. 条件. 二、形成概念

师生互动探究活动

⒈

学生活动

让学生阅读教材34页第一段，用“”和“”符号表示上述题组1 中的原命题与逆命题 .

学生完成.

培养学生的阅读能力，理解“”符号的含义，为引出定义奠定知识基础.

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教 学 过 程

教 学 内 容

⒉

点评学生活动，引出定义

教师导拨

与学生活动

教学

用具

设计意图

通过研究原命题得出建立在学生原有认知水平上“充分”这个感性化的词汇，通过研究逆否命题,理解q是p成立的“必须要有”的条件，这就使充分、必要条件概念的引入顺理成章，水到渠成,帮助突破难点1. 以问题的形式引导学生初步明确如何判断充要条件关系,帮助学生突破难点2. 师生共同探究充分条必要条件命题⑴、⑵、⑷中，“pq”，即只要有件、使学条件p就一定能“充分”保证结论

q成立，的定义，这时我们称条件p是

q成立的充分条生认识到条件，在⑶、⑸中“pq”

则p不是

q成件和结论是立的充分条件；同时，对于命题⑴，根据相对的.

逆否命题

“qp”

我们知道，即如探究的结果没有q成立，就一定没有p成立，q成果：学生给出立是p成立“必须要有”的条件，我们把充分、必要条q叫p的必要条件. 件的定义， 定义：如果pq，那么p是

q成立的充

分条件，同时，q是

p成立的必要条件.

⒊

尝试初步运用

学生讨论探究问题：

问题的结果. ①

如果p是q的必要条件，那么应该有

pq还是qp？

②如何判断p是q的什么条件？

结论:p可能是q的充分条件，也可能是

必要条件.因此要判断能否有pq或

qp.

再回到前面的题组1.

①

判断p是q的什么条件. 由学生解②

判断q是p的什么条件.

决，解决的同pqpqqp答：⑴、⑵

且，则是

的时又会发现充分非必要条件；q是p的必要非充分条新的知识点，件；

在学习前面q，qp，则

p是

q的必要非知识的基础⑶p充分条件，q是p的充分非必要条件；

上，学生完全⑷pq且

qp，则p是

q的充要条可以自己得出充要条件件，q也p是的充要条件；

q且qp，则

p是

q的既不充的定义. ⑸p分也不必要条件. q也是p的既不充分也不必要条件.

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电脑

显示

问题

当学生的视线再回到题组1 时，他们的认识已螺旋式电脑

上升，到达新显示

的境界，题组题组

1既加深对定1 . 义的理解，又

让学生感受在

具体问题中如何判断充要关系，同时归纳出充分非必要、必要非充分及充要条件.

教 学 过 程

教 学 内 容

三、

理解概念

教师导拨

与学生活动

教学

用具

设计意图

逆向思维探究活动

发散练习1：

由学生分请同学们参照例2 设计两组电路图，满足小组讨论解学生可能开关A闭合分别是灯泡亮的必要非充分决，做出的电路条件和充要条件. 图可能有多以下是参考设计，其他情况课堂灵活处理. 种情况，请学生来讲解自

A C B A B

己的设计.

图2 图3 保证学生

图2：必要非充分条件；图3：充要条件；

有充足的时

间讨论研究.

练习2：举出生活中或数学知识中符合充分条件或必要条件关系的实例.

可用

投影

显示

学生

设计

的电

路图

通过学生动手设计电路图, 以及构造实例，帮助学生深化理解并运用定义，同时让学生在这一过程中获得成功的喜悦. 在这一过程中教师要走下讲台，走入学生中间，了解学生的思路，并适时的提示和指导，使学生通过对练习题的交流、思辨，深入理解概念. 四、深化概念

如果p表示某元素x属于集合P，

q表示

该元素属于集合Q，如何用集合间的关系

理解“pq”的含义？

结论：

学生讨论pq⑴

“”即:xPxQ，则PQ,

之后，教师总Q P、Q 结点评. 用图形可以表示为：

P

或

⑵“pq”即xPxQ且xQxP，

探究问题：

则PQ，用图形可以表示为：

P

Q

；

、

电脑

显示

通过前面的学习，学生可以初步理解充分、必要、充要条件的概念，再从集合角度对这三个概念加以分析，则可以使学生更准确深入地理解其中的内涵.

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教 学 过 程

教 学 内 容

例3: x1的一个充分不必要条件是（ B ）

A. x0或x1; B. x3; C. x1或x1; D. x0; 分析：解决的关键首先是确定谁是定义中的条件p，再用集合的观点画数轴解决.

五、小结、作业

⒈

小结

教师引导，电脑

⑴掌握充分、必要、充要条件的概念；

师生共同总显示

⑵判断条件和结论的充要关系时应注意：

结.

Ⅰ)认清条件和结论;

qppqⅡ)考察是否有或.即原命题

与逆命题的真假.

⒉

作业

教师给出. 电脑

⑴

教材P36习题1.8—1、2、3．

显示

⑵

已知是的充要条件,s是

的必题目

要条件同时又是

的充分条件，试确定与

的关系．

小结的重点是强化三个概念，以及在问题解决中推理判断的方法.通过小结，融合知识，深化理解. 作业⑴以落实教材习题为主，强化基础，巩固目标，⑵题是连锁关系的命题,目的是提高学生解决问题的能力. 教师导拨

与学生活动

学生讨论解决，教师适当点评. 教学

用具

设计意图

例3强化认电脑

清条件和结论显示

的重要性，其题目

次使学生学习用集合的思想进行判断，更直观、快捷. 五、板书设计

§1.8充分条件与必要条件

一、定义

二、例题与练习

三、用集合间的关系理解定义内涵

⑴

⑵

整个板书由三板块组成，这样设计是为了展示重点与难点，层次与结构，同

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时体现美观，挖掘启发思维的功能.

六、教学评价

评价方式采用“观察法”及“操作性评价”. “观察法”是在授课过程中努力观察学生的学习表现，在充分暴露思维的过程中，积极肯定学生思维的闪光点和钻研精神. “操作评价”强调对学生知识掌握的达成度和操作技能的点评，我在授课过程中始终保持同学生的正面对话与互动，用实例和问题引导学生探究，鼓励学生积极动手动脑实践，并通过点评帮助学生扫清思维障碍，提高信息反馈的频率和信度，有利于教师及时调整教学策略. 七、教案说明

1.

对教材内容进行整合

在教学设计中，改变了教材安排的授课顺序，教材安排第一课时学习充分条件和必要条件，第二课时学习充要条件.我认真研究之后，针对学生特点，整合为第一课时完成定义的学习以及初步运用，第二课时进行拓展应用训练，这样更有利于学生系统的学好和掌握本节内容的知识. 2.

教学中关注学生的认知规律

根据新课程标准的理念,在教学中重视学生的主体地位，把学习的主动权还给学生,使学生亲自参与获取知识和技能的全过程.教学中先从原命题与逆命题的真假判断入手，通过实例让学生亲身感知概念的发生与形成过程，增强对定义的认识与理解，然后把定义运用到具体的操作实践，使学生获得认识的飞跃，这样从感性到理性，又由理性到感性的交替提升，让学生感受到理论对实践的指导作用，完成思维的构建，体现认知规律.

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