1.1.2 简单组合体的结构特征教学设计

第一章 空间几何体

§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

一、课标要求

1.能根据几何结构特征对空间物体进行分类. 2.会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征. 二、知识要点

1.

空间几何体：我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

2.

多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

3. 旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴. 4.

棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

棱柱中，两个面互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点. 5.

棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.棱锥中，那个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

6.棱台.：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.棱台中，原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面；原棱锥侧面被截得的四边形面叫做棱台的侧面；各侧面与上下底面的公共点叫做棱台的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱.

7.圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转成的面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.

8.圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；直角三角形斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥侧面的母线.

9. 圆台：以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余各边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆台. 10.球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径、半圆的直径叫做球的直径. 三、典型例题

例1.下图中的几何体哪些是棱柱？

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

解：由棱柱的定义可知（1）、（3）、（5）是棱柱

变式1如图，过B’C’的截面截去长方形的一角，所得的几何体是什么？截去的几何体呢？ 解：所得几何体是四棱柱A'AGB'D'DFC'；

截去的几何体是三棱柱B'BGC'CF

例2.（教材第8页1（2））下列命题正确的是（ ）

A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱. B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱. A'B'ADGD'BC'FCC.有两个面平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何

体叫棱柱. D.用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台.

解：如图1可知A选项错误；如图2可知B选项错误；如图3可知D选项错误；

由棱柱的定义可知C选项正确.

图1 图2 图3 变式2如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的

水形成的几何体是 (

) A．棱柱

B．棱台

C．棱柱与棱锥的组合体

D．不能确定

解析

形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义．

例3.下列命题中错误的是（ ）

A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个. B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个. C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆. D.圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形

解：易知.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个，故A正确；

同样易知圆台的所有平行于底面的截面都是圆，圆锥的所有轴截面都是全等的等腰三角形，

故C，D正确. 对于B：设圆锥的母线长为l，圆锥截面等腰三角形顶角为α，圆锥轴截面三角形顶角为θ，

则轴截面面积：S0截面面积：S12lsin(0)；

212lsin

2S（1）当090时，S0（2）当90180时，即S012l.综上选

B. 2121lsinS0l2sin

22121lsinl2sin90

22变式3设圆锥母线长为l，高为为

. l，过圆锥的两条母线作一个截面，则截面面积的最大值212l

2四、备选例题

例1.若长方体ABCDA1BC11D1的一个顶点上的三条棱的长分别为3,4,5，

则①长方体对角线AC1=______; ②一个质点从长方体的一条对角线的一个端点A出发,沿长方体表面运动到该对角线一个另端点C1,其最短路程是________

【解析】①长方体对角la2b2c2

32425252

②只需将长方体沿某个面展开，再计算比较即可. 显然，质点A出发沿长方体表面运动到C1,其最短路径可能是图1—图3中的AC1. 图1中，AC1(43)25274，

图2中，AC1图3中，AC1(45)23290，

(53)24280，

比较可知，其最短路程为74.

4D2C2D1C1D1D1C1B1DC4ABC1C3CA1B134A5B3B2DC4C2A1B134A5B4D

A13C05

图3

图1 图2

例2.如图几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形,CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面. 解：(1)∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，

∴这个几何体不是棱柱．

(2)在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；

在BB1上取F，使BF＝2；连接C1E、EF、C1F，

则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，

其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；

截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F.

五、课后反思

1.讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．

2．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解．

六、作业

1．下列说法中，正确的是

(

A

) A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

2. 下列命题是真命题的是（A

）

A.以直角三角形的一直角边所在的直线为轴旋转所得的几何体为圆锥. B．以直角梯形的一腰所在的直线为轴旋转所得的旋转体为圆柱. C．圆柱、圆锥、棱锥的底面都是圆. D．有一个面为多边形，其他各面都是三角形的几何体是棱锥.

3．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是

( B ) A．1∶2

B．1∶4 C．2∶1

D．4∶1

解析

由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B. 4．下列说法错误的是

(

D

) A．多面体至少有四个面

B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C．长方体、正方体都是棱柱

D．三棱柱的侧面为三角形

5．用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是（

D

）. A. 四边形

B. 五边形

C. 六边形

D. 七边形

6．下列说法中正确的是

(

A

) A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高

D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为___12

_____cm. 8．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图①② (填序号)．

9．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是___①③④⑤_____(写出所有正确结论的编号)．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体．

10. 如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE 把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱

吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．

解：

截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．

它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．

EF，B′C′，BC是侧棱，

截面BCFE左侧部分也是棱柱．

它是四棱柱ABEA′—DCFD′.

其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．

A′D′，EF，BC，AD为侧棱．

11. 如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．

解：

过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1. 12．根据下列对于几何结构特征的描述，说出几何体的名称．

(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；

(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．

解

：(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．

(2)该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．