1.4.2 存在量词教学实录与评析

全称量词与存在量词

知识点一

全称命题与特称命题的判断

判断下列语句是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(4)有些素数的和仍是素数；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

分析

先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．

解

(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

知识点二

判断全称或特称命题的真假

试判断以下命题的真假：

(1)∀x∈R，x2＋2>0；

(2)∀x∈N，x4≥1；

(3)∃x∈Z，x3<1；

(4)∃x∈Q，x2＝3. 分析

要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．

解

(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，

即x2＋2>0.所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．

(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．

所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．

(3)由于－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1. 所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题．

(4)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数．因此，没有任何一个有理数的平方能等于3. 所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．

知识点三

全称或特称命题的否定

写出下列命题的否定，并判断其真假：

1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

4(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；

(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0. 1解

(1)綈p：∃x∈R，x2－x＋<0.(假) 411x－2≥0恒成立．

这是由于∀x∈R，x2－x＋＝42(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形．(假) (3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(真) 这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．

(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0.(假) 这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.

考题赏析

1．(海南，宁夏高考)已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则(

) A．綈p：∃x∈R，sinx≥1 B．綈p：∀x∈R，sinx≥1 C．綈p：∃x∈R，sinx>1 D．綈p：∀x∈R，sinx>1 解析

命题p是全称命题，全称命题的否定是特称命题．

答案

C 2．(山东高考)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(

) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0 C．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 解析

全称命题的否定是特称命题．

答案

C

1．给出下列几个命题：

①至少有一个x0，使x20＋2x0＋1＝0成立；

2②对任意的x，都有x＋2x＋1＝0成立；

③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；

④存在x0，使x20＋2x0＋1＝0成立．

其中是全称命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．0 答案

B 解析

命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题．

2．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是(

)

A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy

2B．∃x0，y0∈R，使x20＋y0≥2x0y0

C．∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy

2D．∃x0<0，y0<0，使x20＋y0≤2x0y0

答案

A 3．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是(

) A．所有被5整除的整数都不是奇数

B．所有奇数都不能被5整除

C．存在一个被5整除的整数不是奇数

D．存在一个奇数，不能被5整除

答案

C 解析

全称命题的否定是特称命题．

4．已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则(

) A．綈p：存在x∈R，使cosx≥1 B．綈p：对任意x∈R，有cosx≥1 C．綈p：存在x∈R，使cosx>1 D．綈p：对任意x∈R，有cosx>1 答案

C 5．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，则命题“p且q”是真命题的充要条件(

) A．a≤－2或a＝1

B．a≤－2或1≤a≤2 C．a≥1

D．－2≤a≤1 答案

A 解析

p真即a≤x2在1≤x≤2范围内恒成立，因x2∈[1,4]，所以a≤1；

q真等价于Δ＝4a2－4(2－a)≥0恒成立．

即a2＋a－2≥0.所以a≥1或a≤－2. 要使p且q为真则a的取值范围为：

a＝1或a≤－2，故选A. 6．命题“∀n∈N*，∃m∈N，使m2

答案

∃n∈N*，∀m∈N，使m2≥n

7．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是________．

答案

∀a，b∈R，使a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2

8．用符号“∀”与“∃”表示下面的命题：

(1)实数的绝对值大于等于0；

(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；

(3)任意的实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc. 解

(1)∀x∈R，|x|≥0. 2(2)∃x0，y0∈R，使x0＋y20<1. 22(3)∀a，b，c∈R，a＋b＋c2≥ab＋ac＋bc. 9．写出下列命题的否定：

(1)若一个四边形是菱形，则它的四条边相等；

(2)被6整除的数能被4整除；

(3)∀x∈R，x2－3≠0；

(4)∀x∈R，∃y∈R，x＋y＝0. 解

(1)存在一个菱形，它的四条边不全相等．

(2)存在被6整除的数，它不能被4整除．

(3)∃x0∈R，x20－3＝0. (4)∃x∈R，∀y∈R，x＋y≠0.

.

知识点一

判断全称命题的真假

判断下列全称命题的真假：

(1)∀x∈{x|x是有理数}，x2是有理数；

(2)对所有的正实数p，p为正数，且p

(3)对实数x，若x2－6x－7＝0，则x2－6x－7≥0. 解

(1)真命题．

11(2)假命题．如：p＝时，p＝，此时p>p. 42(3)真命题．

【反思感悟】

要判定一个全称命题是真命题，必须对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x0，使p(x0)不成立即可．

判断下列全称命题的真假：

(1)所有的素数是奇数；

(2)∀x∈R，x2＋1≥1；

(3)对每一个无理数x，x2也是无理数．

解

(1)2是素数，但2不是奇数．

所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．

(2)∀x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1. 所以，全称命题“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．

(3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．

知识点二

特称命题的真假判断

判断下列特称命题的真假：

(1)有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0；

(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；

(3)有些整数只有两个正因数．

解

(1)由于∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，特称命题“有一个实数x0，使x20＋2x0＋3＝0”是假命题．

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．

(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．

【反思感悟】

要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题是假命题．

指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：

(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；

(2)对任意实数x1，x2，若x1

(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sinx|；

(4)∃x0∈R，使x20＋1<0. 解

(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．

(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．

(2)存在x1＝0，x2＝π，x1

∴命题(2)是假命题．

(3)y＝|sinx|是周期函数，π就是它的一个周期，

∴命题(3)是真命题．

(4)对任意x∈R，x2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．

知识点三

全(特)称命题的判断

判断下列语句是全称命题还是特称命题．

(1)有一个实数a，a不能取对数；

(2)对所有不等式的解集A，都有A⊆R；

(3)有的向量方向不定；

(4)三角形的内角和为180°. 解

(1)特称命题；

(2)全称命题；

(3)特称命题；

(4)全称命题．

因为(1)含有存在量词“有一个”；(2)含有全称量词“所有”；(3)含有存在量词“有的”；(4)从题意知是指所有．

【反思感悟】

在判断命题是全称命题或者特称命题时，当命题中不含量词时，要根据题意是所有的意思还是存在的意思来判断．

判断下列语句是全称命题还是特称命题．

(1)实数的平方大于或等于0；

(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<0)至少有一个负根；

(3)二次函数的图象是抛物线．

解

(1)是全称命题；(2)是特称命题；(3)是全称命题．

课堂小结：

1．全称命题与特称命题的表述

同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法．现列表总结如下．在实际应用中可以灵活地选择. 全称命题

特称命题

命题

“∀x∈A，p(x)”

“∃x0∈A，p(x0)”

表

述

方

法

①所有的x∈A，p(x)成立

①存在x0∈A，使p(x0)成立

②至少有一个x0∈A，使p(x0)

②对一切x∈A，p(x)成立

成立

③对每一个x∈A，p(x)成立

③对有些x0∈A，使p(x0)成立

④任选一个x∈A，使p(x)成

④对某个x0∈A，使p(x0)成立

立

⑤凡x∈A，都有p(x)成立

⑤有一个x0∈A，使p(x0)成立

2.判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

3．全(特)称命题真假的判断

(1)全称命题是真命题，必须确定对集合M中的每一个元素都成立，若是假命题，举一个反例即可．

(2)特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少找到一个元素使得命题成立，若是

假命题，则对集合M中的每一个元素都不成立．

一、选择题

1．下列命题不是“∃x0∈R，x20>3”的表述方法的是(

) 2A．有一个x0∈R，使x0>3 B．有些x0∈R，使x20>3 C．任选一个x∈R，使x2>3 2D．至少有一个x0∈R，使x0>3 答案

C 解析

“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，不能用符号“∃”表示，故选C. 2．下列命题是真命题的是(

) A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0 B．∃x0∈R，－x0＋1≥0 C．∀x∈N*，log2x>0 2D．∃x0∈R，cosx0<2x0－x0－3 答案

B 解析

当x0＝－1时，－x0＋1＝0，所以命题“∃x0∈R，－x0＋1≥0”正确，故选B. 3．下列命题是全称真命题的是(

) A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈Q

C．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>0 答案

B 解析

A，B，D是全称命题，当x＝0时，x2＝0；当x＝0，y＝0时，x2＋y2＝0，因此A，D为假命题．故选B. 4．下列语句不是全称命题的是(

) A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高二(一)班绝大多数同学是团员

D．每一个向量都有大小

答案

C 解析

“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是特称命题．故选C. 5．给出下列命题：①存在实数x0，使x20>1；②全等三角形必相似；③有些相似三角形2全等；④至少有一个实数a，使ax－ax＋1＝0的根为负数．其中特称命题有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

答案

C 解析

①③④是特称命题，②是全称命题．

6．下列命题正确的是(

) A．对所有的正实数t, t为正且t

2B．存在实数x0，使x0－3x0－4＝0 C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0 D．存在实数x0，使得|x0＋1|≤1且x20>4 答案

B

11解析

t＝时t＝，此时t>t，所以A错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此422当x0＝－1或x0＝4时，x0－3x0－4＝0，故B正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C错；由|x＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x2>4，得x<－2或x>2，所以D错．

二、填空题

7．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真命题．

(1)________x∈R，使x2＋2x＋1≥0；

(2)________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cosβ；

ax＋by＝1(3)________a，b∈R，使方程组2，有唯一解．

ax＝2答案

(1)∀

(2)∃

(3)∃

8．将下列命题用含有“∀”或“∃”的符号语言来表示．

(1)任意一个整数都是有理数，________. (2)实数的绝对值不小于0，________. (3)存在一实数x0，使x30＋1＝0，________. 答案

(1)∀x∈Z，x∈Q

(2)∀x∈R，|x|≥0

(3)∃x0∈R，x30＋1＝0 三、解答题

9．判断下列命题是否是全称命题或特称命题？若是，并判断其真假．

(1)∃x0，x0－2≤0；

(2)矩形的对角线互相垂直平分；

(3)三角形两边之和大于第三边；

(4)有些素数是奇数．

解

(1)特称命题，真命题；

(2)全称命题，假命题；

(3)全称命题，真命题；

(4)特称命题，真命题．

10．试用不同的表述写出全称命题“矩形都是正方形”．

解

所有的矩形都是正方形．一切矩形都是正方形．每一个矩形都是正方形．任一个矩形都是正方形．凡是矩形都是正方形.