1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优秀教学设计

2018年6月

1.3空间几何体的表面积与体积教案

精

益

求

精

教师：李平

第1课时

柱体、锥体、台体的表面积

学习目标

1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的求法. 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题．

知识点一

棱柱、棱锥、棱台的表面积

思考1

正方体与长方体的展开图如图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？

答案

相等．

思考2

棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？

答案

是．

梳理

图形

表面积

多多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是面展开图的面积

体

知识点二

圆柱、圆锥、圆台的表面积

思考1

圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

答案

S侧＝2πrl，

S表＝2πr(r＋l)．

思考2

圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

1

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答案

底面周长是2πr，利用扇形面积公式得

S＝1侧2×2πrl＝πrl，

S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．

思考3

圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？

答案

如图，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，

如图，xx＋l＝rR，解得

x＝rR－rl. S扇环＝S大扇形－S小扇形

＝12(x＋l)×2πR－12x·2πr

＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，

所以S圆台侧＝π(r＋R)l，

S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．

梳理

图形

表面积公式

旋

底面积：S底＝2πr2 转圆柱

侧面积：S侧＝2πrl 体

表面积：S＝2πr(r＋l)

2

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益

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精

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底面积：S底＝πr2 圆锥

上底面面积：S上底＝πr′2 圆台

类型一

棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积

例1

(1)如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°.侧棱长为b，则其侧面积为(

) 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l)

33A.ab

4C．(3＋2)ab

答案

C 解析

斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和，斜棱柱的每个侧面都是平行四边形．由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形．∵AB＝AC＝a，∴BC＝2a. ∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，AA1＝b，

∴SACC1A1＝SB.3＋2ab

223＋2D.ab

2＝ABB1A1＝absin 60°3ab. 2又∵∠BB1C1＝90°，∴侧面BB1C1C为矩形，

∴S矩形BB1C1C＝2ab，

∴S斜三棱柱侧＝故选C. (2)已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

33ab＋ab＋2ab＝(3＋2)ab. 22

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解

如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.连接OE、O1E1，

111则OE＝AB＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3. 222过E1作E1H⊥OE，垂足为H，

则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，

HE＝OE－O1E1＝6－3＝3. 在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，

所以E1E＝317. 1所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E

2＝2×(6＋12)×317＝10817. 引申探究

本例(2)中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗？

解

如图，将正四棱台的侧棱延长交于一点P.

取B1C1、BC的中点E1、E，则EE1的延长线必过P点．O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，

11且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，

22PO1O1E13则有＝＝，

POOE6即PO11＝，所以PO1＝O1O＝12. PO1＋O1O22222在Rt△PO1E1中，PE1＝PO21＋O1E1＝12＋3＝153，

在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝612，

所以E1E＝PE－PE1＝617－317＝317.

4

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1所以S侧＝4××(BC＋B1C1)×E1E

2＝2×(12＋6)×317＝10817. 反思与感悟

棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．

跟踪训练1

已知正三棱锥V－ABC的正视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝23，求该三棱锥的表面积．

解

由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图，如图所示，

且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝23，

取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，

所以VD＝VB2－BD2＝42－32＝13，

11则S△VBC＝VD·BC＝×13×23＝39，

2213S△ABC＝×(23)2×＝33，

22所以三棱锥V－ABC的表面积为

3S△VBC＋S△ABC＝339＋33＝3(39＋3)．

类型二

圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积

例2

(1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等．若圆柱的底面半径为r，圆柱的侧面积为S，则圆锥的侧面积为________．

答案

4π2r4＋S2

2S. 2πr解析

设圆柱的高为h，则2πrh＝S，∴h＝设圆锥的母线为l，∴l＝r＋h＝

222S2r＋22. 4πr5

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∴圆锥的侧面积为πrl＝πr4π2r4＋S2S2r＋22＝. 4πr22(2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积是________．(结果中保留π)

答案

1 100π cm2

解析

如图所示，设圆台的上底面周长为c，

因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，

所以SA＝20，同理可得SB＝40，

所以AB＝SB－SA＝20，

所以S表面积＝S侧＋S上＋S下

2＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr2

＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．

故圆台的表面积为1 100π cm2. 反思与感悟

解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．

跟踪训练2

(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(

) 1＋2πA.

2π1＋2πC.

π答案

A l解析

设圆柱的母线长为l，∴l＝2πr，r＝，

2π2π＋12l2则圆柱的表面积为2πr＋l＝2π2＋l2＝l，侧面积为l2，

4π2π221＋2πB.

4π1＋4πD.

2π2π＋1222π＋1∴圆柱的表面积与侧面积的比是l∶l＝. 2π2π故选A. (2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的(

) A．4倍

B．3倍

C.2倍

D．2倍

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答案

D S侧2πr2解析

设圆锥底面半径为r，由题意知母线长l＝2r，则S侧＝πr×2r＝2πr，∴＝2＝2. S底πr2类型三

简单组合体的表面积

例3

如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(

)

A．20π

B．24π

C．28π

D．32π

答案

C 解析

由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝232＋22＝4，所以圆1锥的侧面积为S锥侧＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋24π＝28π，故选C. 反思与感悟

求组合体的表面积，首先弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求面积，然后根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．

跟踪训练3

某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是______ cm2.

答案

7＋2 解析

其直观图如图．

由直观图可知，该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体，

1∴其表面积S＝6×(1×1)＋2××1×1＋1×2＝7＋2. 2课堂练习

1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是(

)

7

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SA.

B．πS

C．2πS

D．4πS

π答案

B 解析

∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，

∴圆柱的母线长为S，底面圆的直径为S，

∴圆柱的侧面积S＝π×S×S＝πS. 故选B. 2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是(

)

A.23

B.

C.3

D.2 23答案

B 1解析

设正方体的棱长为1，则正方体的表面积为6，正四面体D－A1BC1的棱长为2，表面积为4××22sin 60°×2＝23，∴正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是3，故选B. 33．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为(

) A．100π

B．81π

C．169π

D．14π

答案

A 解析

∵圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r，由100＝(4r)2＋(4r－r)2，得r＝2，故圆台的侧面积等于π(r＋4r)×l＝π(2＋8)×10＝100π，故选A. 4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

答案

2 1解析

设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圆锥的底面直径为2. 25．直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积．

解

设此直角三角形为ABC，AC＝20，BC＝15，AC⊥BC，则AB＝25.

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过C作CO⊥AB于点O，直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1)，它的下部是圆锥(2)，两圆锥底面圆相同，其半径是OC，且OC＝20×15＝12，圆锥(1)的侧面积S1＝π×12×20＝240π，25圆锥(2)的侧面积S2＝π×12×15＝180π.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和，即S＝S1＋S2＝420π.

规律与方法

1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．

2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．

3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．

课后作业

一、选择题

1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为(

)

A．π

C．3π

答案

C 解析

设圆锥的母线长为l，则l＝3＋1＝2，∴圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.

2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为(

) A．2

B．22

C．4

D．8 答案

C 解析

圆台的轴截面如图所示，

B．2π

D．4π

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1由题意知，l＝(r＋R)，

2S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，

∴l＝4. 3．正四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm，高是1 cm，它的侧面积为(

) 3523A．6 cm2

B.

cm2

C.

cm2

D．35 cm2

43答案

D 解析

∵四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm，高是1 cm，

1∴上底边到上底中心的距离是

cm，下底边到下底中心的距离是1 cm，

2那么梯形的高，就是斜高为

1512＋1－2＝(cm)，

221535一个梯形的面积就是(1＋2)×＝(cm2)，

224∴棱台的侧面积S＝35(cm2)．

故选D. 4．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为(

)

A．80

C．242＋40

答案

B 解析

根据题意，可得该几何体是底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等的四棱锥，高为SO＝4，如图所示，

B．242＋88 D．118

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因此，等腰三角形SAB的高SE＝SO2＋OE2＝42＋32＝5，

等腰三角形SCB的高SF＝SO2＋OF2＝42＋42＝42，

1∴S△SAB＝S△SCD＝×AB×SE＝20，

21S△SCB＝S△SAD＝×CB×SF＝122，

2∵矩形ABCD的面积为6×8＝48，

∴该几何体的表面积为S表＝S△SAB＋S△SCD＋S△SCB＋S△SAD＋SABCD＝2×20＋2×122＋48＝242＋88. 故选B. 5．一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为(

) A．15π

B．20π

C．12π

D．15π或20π

答案

D 解析

以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：

根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积＝πr×l母线长．

①以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝4π×5＝20π；

②以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝3π×5＝15π.

故选D. 6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(

)

A．372

B．360

C．292

D．280 答案

B 解析

由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．

∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，

又∵长方体表面积重叠一部分，

∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360. 7．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数a的值为(

)

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A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C 解析

设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S＝2π×1×a＋π×1×32＋12＋π×12＝2πa＋3π＝9π，∴a＝3. 二、填空题

8．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是________．

答案

1∶2 解析

设该圆锥体的底面半径为r，母线长为l，根据题意得2πr＝πl，所以l＝2r，

所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是

11πr2∶πl2＝r2∶(2r)2＝1∶2. 22故答案为1∶2. 9．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是________．

答案

12π

解析

由三视图知该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为2,1，母线长为4，则该几何体的侧面积S＝π(2×4＋1×4)＝12π.

10．如图所示，一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥)的正方形底面的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的表面积为____ cm2.

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答案

48 解析

∵该四棱锥的侧面是底边长为4 cm的全等的等腰三角形，∴要求侧面积，只需求等腰三角形底边上的高即可，可构造直角三角形求解．如题图所示，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE. ∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，

∴斜高PE＝OE2＝＝4(cm)．

sin 30°1211∴S棱锥侧＝4··BC·PE＝4××4×4＝32(cm2)，

22∴S表＝S侧＋S底＝32＋4×4＝48(cm2)．

11．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．

答案

96＋6π

解析

由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.

三、解答题

12．如图所示是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形．(长度单位：cm)

(1)该几何体是什么图形？

(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法) 解

(1)由三视图可知该几何体是三棱柱．

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(2)直观图如图所示．

因为该几何体的底面是边长为4 cm的等边三角形，高为2 cm，所以它的表面积S三棱柱＝2S底＋S侧＝2×＋3×4×2＝(24＋83)(cm2)．

13．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．

3×424

解

如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′.过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.

13∵S侧＝2S底，∴×3a×h′＝a2×2，∴a＝3h′. 24∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2，

∴32＋(∴S底＝3×3h′)2＝h′2，∴h′＝23，∴a＝3h′＝6. 6323a＝×62＝93，S侧＝2S底＝183，

44∴S表＝S侧＋S底＝183＋93＝273. 四、探究与拓展

14．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(

) A．7

B．6

C．5

D．3 答案

A 解析

设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.

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15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．

(1)试用x表示圆柱的高；

(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？

解

(1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，

BO＝1，PO＝3，圆柱的高为h，

由图，得x1＝3－h3，即h＝3－3x. (2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，

当x＝132时，圆柱的侧面积取得最大值为2π.

∴当圆柱的底面半径为12时，它的侧面积最大为32π.

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