习题3.2设计意图

立体几何中的向量方法教学设计<小结> 地位作用

本节是高中数学选修2-1第三章3.2的内容,本节之前学生已经复***面向量解决平面几何问题,空间向量是三维的,两者在几何意义、坐标表示、运算等方面都有相似之处。利用空间向量解决立体几何问题，是平面几何解决平面几何问题的发展，通过类比，达到温故知新的效果。同时对解决立体几何问题提供了新的视角。

用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算. 教学重点：用空间向量解决立体几何问题的"三步曲" （1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；

（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等有关问题（进行向量运算）

（3）把向量的运算结果"翻译"成相应的几何意义（回归几何题）．

教学难点：建立立体图形与空间向量之间的关系,把立体几何问题转化为向量问题

教学目标

知识目标

: 

能用向量方法解决立体几何中的平行、垂直问题，空间角、距离计算等问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。



提高学生选择恰当的方法解决立体几何问题技能. 能力目标：



培养学生观察分析、类比转化的能力；



体验从

“定性”

推理到“定量”

计算的转化，提高分析

问题、解决问题的能力.

情感目标：



激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；



感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情.

方法手段

教学方法：启发式讲解

互动式讨论

研究式探索

反馈式评价

学习方法：自主探索

观察发现

类比猜想

合作交流

教学手段：运用多媒体教学

教学程序

以问题为载体，学生活动为主线

探索、类比、猜想、发现并获得新知

问题

设计意图

师生活动

问题1：如何利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系？

问题2：如何利用向量法计算夹角、距离问题？

通过复习使学生掌握利用向量法解决这些关系的基本思想方法

通过图形演示使学生从根本上掌握方法，实现从“形”到“数”的转化，培养学生数形结合能力。

立体几何中的向量方法可以归纳为三步：（1）把几何问题转化为向量问题；（2）进行向量运算；（3）由向量运算解释几何问题.有助于加强学生对解题通法的整体认识. 通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题。从需要完成的任务理出本题可以用向量法、几何法解决的大体思路。掌握通过向量运算解决几何问题。

初步建立已知条件与求解内容两者间的关系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标的能力。同时掌握点面距离求法。

画图说明，和学生一起回顾

图形演示，学生观察，归纳总结。

问题3：回顾前面讨论过的问题，请你概述用向量方法解决立体几何问题时一般经历怎样的过程？

教师引导学生结合前面内容，从整体上归纳解题过程,留给学生一定时间,使其通过思考能明确认“三步曲”各阶段的主要任务,并能简明地叙述出来为对本节后续内容的整体把握作准备. 学生独立阅读结合前面内容从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行而问题可以利用向量解决还可以用几何法解决。。

教师引导学生关注已知条件中有“三条线两两垂直”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、并意识到这是适合本题的坐标方法。教师要求学生写出点A，B，C，D，G的坐标，并进一步写出有关向量坐标,再通过向量运算解决问题. 教师从“计算二面角的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？

问题4：阅读例1，请你找出其中的已知条件和求解问题能用向量方法解决吗？

问题3：从例2的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标，应怎样建立？

问题4：考虑例3要计算二面角的大小，应如何入手？

计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小。计算角的大小时，向量是非常有力的工具。解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握。培养学生多角度思考问题的能力,灵活掌握知识. 问题5：如何计算异面直线所成角? 如何计算异面直线距离？

运用直线的方向向量数量积、教师做详细分析，帮助、启发夹角公式解决夹角，可以利用学生思考，分解难点。

投影长度解决距离问题，培养学生数形结合能力、观察能力。

问题6：考虑例5，如何求解线面所成角？第（2）问如何找点？

可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用。

学生结合刚讨论过的例题，对本题题进行思考和讨论，教师适当点拨引导。注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法。

学生结全刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨论，教师适当点拨引导。注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法。

教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套。

问题7：考虑例4后的思考题。

思考题1可以加强不同方法之间的联系。

小结立体几何中的不同方法

加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识。

独立思考，巩固提高

练习，布置作业。