3.1.2 导数的概念10分钟试讲教案

3．1.2 导数的概念

【课标要求】

1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．

2．了解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数．

3．掌握函数在一点处导数的定义．

【核心扫描】

1．理解瞬时速度的意义，会求物体运动过程中某时刻t0的瞬时速度．

2．理解函数在某点处的导数是本节的难点，正确理解这一概念为进一步研究导数奠定基

础.

自学导引

1．瞬时变化率

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时fx0＋Δx－fx0Δy的极限，即lim

＝lim

. ΔxΔx→0Δx→0Δx想一想：函数平均变化率的几何意义和物理意义是什么？

提示

平均变化率的几何意义是表示函数y＝f(x)图象上割线P1P2的斜率(其中P1(x1，fx2－fx1fx1＋Δx－fx1f(x1)，P2(x2，f(x2))，即kP1P2＝＝；

Δxx2－x1物理意义是把位移s看成时间t的函数s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即v＝st2－st1. t2－t12．函数f(x)在x＝x0处的导数

fx0＋Δx－fx0Δy＝lim

，我们称它为函ΔxΔx0ΔxΔx→0Δy数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim

＝lim

Δx→0ΔxΔx→0fx0＋Δx－fx0. Δx想一想：函数f(x)在x＝x0处的导数与Δx趋近于0的方式有关吗？

提示

没有关系．无论Δx从一侧趋近于0还是从两侧趋近于0，其导数值应相同．否则f(x)在该点处导数不存在，如函数f(x)＝|x|在x＝0处导数不存在．

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim

→名师点睛

1．对瞬时变化率的理解

(1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率．

Δs(2)在平均变化率中，Δt趋近于0，是指时间间隔Δt越来越短，能越过任意小的时间Δt间隔，但始终不能为0. Δs(3)Δt，Δs在变化中都趋近于0，其比值趋近于一个确定的常数，这时此常数才称为t0Δt时刻的瞬时速度．

(4)瞬时变化率的实质是当平均变化率中自变量的改变量趋向于0时的值，其作用是刻画函数值在x0点处变化的快慢．

2．对导数概念的理解

Δy导数是在点x＝x0处附近的极限，是一个局部概念，y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是Δx一个确定的数．

注意：(1)某点导数的概念包含两层含义：

Δy①lim

存在(惟一确定的值)，则称函数y＝f(x)在x＝x0处可导，

Δx→0ΔxΔy②若lim

不存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处不可导．

Δx→0Δx(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度，即v＝lim

→Δt0Δs＝lim

ΔtΔt→0st0＋Δt－st0. Δt(3)f′(x0)＝lix→mx

0fx－fx0与定义中的f′(x0)意义本质相同. x－x0

题型一

物体运动的瞬时速度

【例1】

一质点按规律s(t)＝at2＋1作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．

Δs[思路探索]

求物体的瞬时速度，应先求出平均速度，再取极限．

Δt解

∵Δs＝s(2＋Δt)－s(2)

＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1

＝4aΔt＋aΔt2，

Δs∴＝4a＋aΔt. ΔtΔs在t＝2 s时，瞬时速度为lim

＝4a，即4a＝8，∴a＝2. Δt→0Δt规律方法

求瞬时速度是利用平均速度“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：

(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；

Δs(2)求时间t0到t0＋Δt之间的平均速度v＝；

ΔtΔs(3)求lim

的值，即得t＝t0时的瞬时速度．

Δt→0Δt【变式1】

如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(

)．

A．6

B．18

C．54

D．81 s3＋Δt－s333＋Δt2－3·3218Δt＋3Δt22解析

s＝3t，∴＝＝＝3Δt＋18，

ΔtΔt3＋Δt－3lim

(3Δt＋18)＝18，∴在t＝3时的瞬时速度为18. →Δt0答案

B 题型二

函数在某点处的导数

【例2】

求y＝x在点x＝1处的导数．

[思路探索]

2解

Δy＝(1＋Δx)－1＝2Δx＋(Δx)，

2Δy2Δx＋Δx＝＝2＋Δx，

ΔxΔxΔy∴lim

＝lim

(2＋Δx)＝2.∴y′|x＝1＝2. Δx→0ΔxΔx→0规律方法

求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤是：

(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

222

Δyfx0＋Δx－fx0(2)求平均变化率＝；

ΔxΔxΔy(3)取极限，得导数f′(x0)＝lim

. Δx→0Δx【变式2】

求y＝2x2＋4x在点x＝3处的导数．

Δy解

Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，＝2Δx＋16，

ΔxΔy∴lim

＝lim

(2Δx＋16)＝16，即y′|x＝3＝16. Δx→0ΔxΔx→0题型三

导数的实际意义

【例3】

(12分)一条水管中流出的水量y(单位：m3) 是时间x(单位：s)的函数y＝f(x)＝x2＋7x＋15(0≤x≤8)．计算第2 s和第6 s时，水管流量函数的导数，并说明它们的实际意义．

审题指导

先利用导数的定义求导，再利用导数就是瞬时变化率解释其实际意义．

[规范解答]

在第2 s和第6 s时，水管流量函数的导数为f′(2)和f′(6)(2分) 根据导数的定义，

Δyf2＋Δx－f2＝

ΔxΔx2＋Δx2＋72＋Δx＋15－22＋7×2＋15＝

Δx4Δx＋Δx2＋7Δx＝＝Δx＋11，

ΔxΔy所以f′(2)＝lim

＝lim

(Δx＋11)＝11 m3/s，(6分) →→Δx0ΔxΔx0同理可得f′(6)＝19 m3/s.(8分) 在第2 s与第6 s时，水管流量函数的导数分别为11与19.它说明在第2 s附近，水管流量大约以11 m3/s的速度流出，在第6 s附近，水管流量大约以19 m3/s的速度流出．(12分) 【题后反思】

导数实质上就是瞬时变化率，它描述物体的瞬时变化率，例如高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径r关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率．

【变式3】

服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y＝f(t)，假设函数y＝f(t)在t＝10和t＝100处的导数分别为f′(10)＝1.5和f′(100)＝－0.60，试解释它们的实际意义．

解

f′(10)＝1.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min)．

f′(100)＝－0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL·min)．

误区警示

忽略导数定义中Δx与Δy的对应关系

【示例】

设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，

fx0－3Δx－fx0且lim

＝1, 则f′(x0)等于(

)．

ΔxΔx→0

11A．1

B．－1

C．－

D.

33fx0－3Δx－fx0[错解] lim

＝

ΔxΔx→0fx0－3Δx－fx0·lim

3

→Δx03Δx1＝3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝，故选D. 3fx0＋Δx－fx0

在导数的定义f′(x0)＝lim

中，Δx是分子f(x0＋Δx)与f(x0)ΔxΔx→0中的两个自变量的差，即(x0＋Δx)－x0.初学者在求解此类问题时容易忽略分子与分母相应的

符号的一致性．

fx0－3Δx－fx0

ΔxΔx0fx0－fx0－3Δx·

＝－lim

3Δx→03Δx1＝－3f′(x0)＝1，所以f′(x0)＝－，

3故选C. [正解]

因为lim

→

正确运用公式，解答过程中注意计算的准确性.