1.4.2 存在量词第二课时教案

1.3

简易逻辑联结词、全称量词与存在量词

★经典习题奠基：

1.

下列全称命题中假命题的个数(

C

) ①2x＋1是整数(x∈R)；

②对所有的x∈R，x>3；

③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数；

④任何直线都有斜率．

A．1

B．2

C．3 D．4

2. (2011·辽宁)已知命题p：∃n∈N,2n>1000，则p为(

A

) A．∀n∈N,2n≤1000

B．∀n∈N,2n>1000

C．∃n∈N,2n≤1000

D．∃n∈N,2n<1000 3. 下列命题中的假命题是(

C

) A．∃x∈(0，＋∞)，lgx＝0

B．∃x∈R，tanx＝1

C．∀x∈R，x2>0

D．∀x∈R,2x>0 4. 命题“存在实数x0，y0，使得x0＋y0>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．

答案

∃x0，y0∈R，x0＋y0>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假

5. (2012·衡水调研卷)若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

答案

－22≤a≤22 ★典例精析

题型一

含有一个量词的命题的否定

【例1】命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(

D

) A.所有不能被2整除的整数都是偶数

B.所有能被2整除的整数都不是偶数

C.存在一个不能被2整除的整数是偶数

D.存在一个能被2整除的整数不是偶数

【举一反三】1.已知命题p：∃n∈N,2n＞1 000，则p为( A ) A.∀n∈N,2n≤1 000

B.∀n∈N,2n＞1 000 C.∃n∈N,2n≤1 000

D.∃n∈N,2n＜1 000 题型二

命题真假的综合运用

【例2】已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围. 【思路分析】先将p、q中m的范围求出，再由“p或q”为真，“p且q”为假推出p、q一真一假，再分类求解. 2Δ＝m－4>0，【解析】由p得则m＞2.由q知，Δ′＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)m>0，＜0，则1＜m＜3.∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真. m>2，m≤2，则或解得m≥3或1＜m≤2. 1

a>0，则即a≥2；反之，若q假，则a＜2.由p∨q为真，p∧q为假知p真q假，或p假Δ≥0，

q真，

77a≥2或a≤3，3

2a<2a≥2，题型三

判断全称命题与特称命题的真假

【例3】试判断以下命题的真假：

(1)∀x∈R，x2＋2＞0；

(2)∀x∈N，x4≥1；

(3)∃x∈R，x3＜1；

(4)∃x∈Q，x2＝3；

(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；

(6)∃x∈R，x2＋1＝0. 【思路分析】根据判定全称命题与特称命题的真假的方法作出推断即可. 【解析】(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2＞0，即x2＋2＞0.所以命题“∀x∈R，x2＋2＞0”是真命题. (2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题. (3)由于－1∈R，当x＝－1时，能使x3＜1，所以命题“∃x∈R，x3＜1”是真命题. (4)由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数.因此，没有任何一个有理数的2平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x＝3”是假命题. (5)假命题，因为只有x＝2或x＝1时满足. (6)假命题，因为不存在一个实数x使x2＋1＝0成立. 【方法归纳】要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题. 【举一反三】3.已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：∀x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是( D ) A.命题“p∧q”是真命题

C.命题“p∨q”是真命题

B.命题“p∧q”是假命题

D.命题“p∧q”是假命题

π【解析】选D.先判断命题p和q的真假，再逐个判断.容易知命题p是真命题，如x＝，4p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题，q是真命题.所以“p∧q”是假命题，A错误；“p∧q”是真命题，B错误；“p∨q”是假命题，C错误；“p∧q”是假命题，D正确.

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