3.1.2 导数的概念全国优秀课堂实录

导数的概念

一、

教材依据

导数的概念是北师大版全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第三章第一节的内容。

二、

三、

设计思想

教材分析

导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。

本节内容分了四部分，一是过曲线上一点的切线的斜率；二是非匀速直线运动物体的瞬时速度；三是导数的定义；四是导数的几何意义。学习切线的斜率与瞬时速度是为了引出导数的概念，介绍导数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。

四、

学情分析：

1、

现有知识储备：1）直线的斜率；（2）物体运动的速度；（3）函数的极限

2、

现有能力特征：具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力

3、

现有情感态度：对导数这一新鲜的概念具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感态度。

五、

教学目标

通过两个实例的分析，经历导数概念的形成过程，了解导数概

念的实际背景，从而掌握导数的概念。

通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力并领悟极限思想。

六、

教学重点

导数的概念的形成过程。

七、

教学难点

对导数的理解。

八、教学过程

结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构导数的概念。

教学环节

几何画板演示：

“二新”开题，扣人心弦

首先复习圆的切线的定义，再

1、圆的切线：

（1）与圆只有一个交点的直线（已学）；

（2）割线的极限位置（复习引导）



2、奇怪的平均速度：

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4。9t 2＋6。5t＋10。介绍从极限的角度如何看待切线，为导出切线的斜率创设情景。

（2）新问题

学生相互讨论运动员在这段时间内的平均速度为“0”这一奇怪现象，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？

引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运平均速度为“0”。

切线：割线的极限位置。

（1）新视角

教学内容

师生互动

设计思路

创设情景

动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。

计算运动员在

这段时间里的平均

学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲。

（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

速度，并思考下面的问题：

（1）运动员在这段时间里是静止的吗？

类比探：

探究一：对一般曲线如：

在（3，学生探究、讨论，教师指导。

呼应导入1，挑战原有认知激发学生学习兴趣。

1）处的切线，能不能说与曲线只有一个交点的直线就是这条曲线的切线？

直观探：



探究二：当点Q沿曲线C无限趋近于点P学生实验与教师课件演示结合。

直观地从运动角度感受二者关系。

时，割线与切线的关系如何？

引导探究

学生利用计算器计算割线斜

探究三：如何计算割线的斜率？

率

，感受斜率变化规律。

计算探：

数字揭示割线斜率变化规律。

学生讨论，交流，教师规范结论。

实质探：



探究四：如何计算切线的斜率？

利用极限的思想，揭示切线的斜率的实质，为导出导数

初步启发、接触导数的概念。

的概念做好铺垫。



任务一：感受平均速度的变化

即当Δt取不同值时,尝试计算

的值？

Δt Δt 感受变化：

-0。1 -0。01 -0。001 0。1 0。01 0。001 学生利用计算器，分组完成问 题二。

学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力。

自主探究

-0。0001 -0。00001 ………。

0001 0。 0。00001 …。

……。

…

一方面分组讨论，展示计算结果，在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13。1，即瞬时速度，体会逼

任务二：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,搭建平台，自主交流：

数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美。

即

引导学生继续思考:运动员在某揭示本质

个时刻



任务三：运动员在某个时刻

如何表示呢？

的瞬时速度

的瞬时速度如何表

示? 学生意识到将

可类比得到

代替2,提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法。

在前面两个问题的铺垫下,进一步提出，我们这里研究的函数

在

时变化如果将这两个变化率问题中的函数用

来表示，那么函率

处的瞬抛砖引玉，水到渠成

砖已抛，必引玉；水已到，渠必成。

学生结合具体问题的实际意义,抽象得到导数定义,由浅数

在

处的瞬时变化率如何呢？

即

在导数,记作

处的入深、由易到难、由特殊到一般，完成了思维的飞跃；同时提及导数产生的时代背景，让学生感受数学文化的熏陶，感受数学来源于生活，(也可记为

) 又服务于生活。



核心探究，揭示导数概念：

自发探究

用具体函数的切线感受极限,例1：

讨论函数

在点P（0，0）处切线的情况。

师生共同完成。

加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用。



分层练习：



B类：P109 1，2；P111 1，2



A类：

已知一个物体运动的位移学生分层独立完成。

目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。

（m）与时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。

（2）求物体在t时刻的瞬时速度。

（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？

归纳总结

、

内化知识

1、过曲线上一点的切线的斜率；

2、非匀速直线运动物体的瞬时速度；

学生小结，再由其他人补充，3、导数的定义；

4、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般。

完善，教师调控。

让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。

作业布置

B类：教材第114页，第1，2，3题。

A类：B类+补充。

作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时注重个体差异，因材施教。

︱x=0；（3）补充：已知y=x3

求

（1）

；（2）

求曲线在（0，0）处的切线方程。

板书设计

§1.1.2导数的概念

一、过曲线上一点的切线的斜率

例题

二、非匀速直线运动物体的瞬时速度

小结

三、导数的概念

作业

教学反思：

1、“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想。

2、在难点的突破上采取了有效的分解策略。

3、形式和内容得到统一，具有很强的可操作性。

各类探究中，形式和内容和谐统一，教师指导及时、到位，具有很强的可操作性