习题3.2教学设计范文

专题讲座1 直线与圆

【基础编】

1.在直角坐标系中,直线3xy30的倾斜角是（

D ）

A．6 B．23 C．52 D．

632.【2014·浙江】已知圆x＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(

B.

) A．－2

B．－4

C．－6

D．－8 3．【2014·安徽】过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(

D

) ππππA.0，

B.0，

C.0，

D.0，

63634.直线x3y0截圆x2B．2y24所得劣弧所对的圆心角是

（

D ）

C．A．

6

322

2D．2

35.若直线ykx与圆(x2)y1的两个交点关于直线2xyb0对称,则k,b的值分别为

A．k（

）

111,b4

B．k,b4

C．k,b4

22222D．k,b4

12【答案】A因为直线ykx与圆(x2)y1的两个交点关于直线2xyb0对称,则ykx与直线12xyb0垂直,且2xyb0过圆心,所以解得k,b4,选A．

24.若直线l:ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短，则直线l的方程是（A

）

A.xy10

B.y1

C.xy10

D.x0

2xy205.在平面直角坐标系xoy中, M为不等式组x2y10所表示的区域上一动点,则直线OM

斜率3xy80的最小值为

（

）【答案】C

A．2 B．1 C．11 D．

326.已知A,B是单位圆上的动点,且AB3,单位圆的圆心为O,则OAAB

（

）

A．23

22B．3

2C．

32D．3【答案】C

2

7.己知xy2x4y10关于直线2axby20(a0,b0)对称,则A．4

41（

）

的最小值是ab1 B．6

C．8

D．9 【答案】D

8．已知集合Ax,yyxb,bR与集合Bx,yy34xx2，若AB，则b的取值范围是

（ ）

A．122,122 B．12,3

C．122,3 D．1,122

9.在平面直角坐标系xoy中,圆C的方程为x2y28x150,若直线ykx2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是

A．（

）

4

3B．5

4C．

2235D．

53【答案】A 因为圆C的方程可化为:x4y1,所以圆C的圆心为(4,0),半径为1.因为由题意,直线ykx2上至少存在一点A(x0,kx02),以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点;所以存在x0R,使得AC11成立,即ACmin2.因为ACmin即为点C到直线ykx2的距离4k2442,解得k0.所以k的最小值是,选A．

33k214k2k12,所以10.已知直线2xy10的倾斜角大小是,则tan2 .【答案】4;

311.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x3)2(y4)225交于A,B两点,C为圆心,当ACB最小时,直线l的方程是 【答案】xy30;

12.已知圆C的方程为(x3)(y4)1，过直线l：3xay50（a0）上的任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为15，则直线l的斜率为 . 【解析】-223

解析：当切线长最小时，即圆心到直线的距离最小，此时d=15+1=4，所以49+4a-5a2+9=4，解得a=4，所以直线l的斜率为-33，故答案为-。

44y B 【提升编】

1.如右图，已知A(4,0),B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射

到直线OB上，最后经直线OB反射又回到P点，则光线所经过的路程是（

A ）

A．210

B．6

C．33

D．25

x O P A 2.已知直线axbyc0与圆O:x2y21相交于A,B两点,且AB3,

则OAOB

的值是（

）

1A．

2

B．1

2C．3

4D．0

2

1212(3)212解。在三角形OAB中,cosOAB,所以

,所以OAB2112311OAOBOAOBcosOAB11(),选A．

223.已知P是直线l:3x4y110上的动点,PA．PB是圆x2y22x2y10的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是

（

）

A．2

B．22

C．3

D．23

【解析】圆的标准方程为(x1)2(y1)21,圆心为C(1,1),半径为r1.根据对称性可知四边形PACB面积等于2SAPC21PArPA2PCr2,要使四边形PACB面积的最小值,则只需PC最小,此2时最小值为圆心到直线l:3x4y110的距离d234113242102,所以四边形PACB面积的最小5值为2SAPCPCr2413,选C,

4.如果函数y|x|2的图像与曲线C:x2y2恰好有两个不同的公共点,则实数的取值范围是（

）A．{2}∪(4,)

B．(2,)

C．{2,4}

5.已知x、y满足x2D．(4,) 【答案】A

y24,则z3x4y5的取值范围是（

A

）

B．[

10

, 10

]

C．[

2

, 2

]

D．[

0

, 3

]

A．[

5

, 15

]

6．【2014·江西】在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(

A

) 435A.π

B.π

C．(6－25)π

D.π

544

[解析] 由题意知，圆C必过点O(0，0)，故要使圆C的面积最小，

则点O到直线l的距离为圆C的424直径，即2r＝，所以r＝，所以S＝π. 5557．【2014·北京】已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(

B

) A．7

B．6

C．5

D．4

[解析] 由图可知，圆C上存在点P使∠APB＝90°，即圆C与以AB 为直径的圆有公共点，所以32＋42－1≤m≤32＋42＋1，即4≤m≤6.

x＋y－7≤0，8.【2014·福建】已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：x－y＋3≥0，若圆心C∈Ω，且圆C与xy≥0.轴相切，则a2＋b2的最大值为(

C

) A．5

B．29

C．37

D．49

3

x＋y－7≤0，

[解析] 作出不等式组x－y＋3≥0，表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C：(x－a)2＋y≥0(y－b)2＝1的圆心坐标为(a，b)，半径为1.由圆C与x轴相切，得b＝1. x＋y－7＝0，x＝6，解方程组得即直线x＋y－7＝0与直线y＝1的

y＝1，y＝1，交点坐标为(6，1)，设此点为P.又点C∈Ω，则当点C与P重合时，

a取得最大值，所以，a2＋b2的最大值为62＋12＝37，故选C.

9.在圆x2y25x内,过点(53,)有n条弦的长度成等差数列,最小弦长为数列的首项a1,最大弦长为2211an,若公差为d∈[,],那么n的取值集合为（

）

63A．{4,5,6,7} B．{4,5,6} C．{3,4,5,6} D．{ 3.4.5,6,7}

【解析】圆的标准方程为(x)2y22555,所以圆心为(,0),半径r,则最大的弦为直径,即422353an5,当圆心到弦的距离为时,即点(,)为垂足时,弦长最小为4,即a14,所以由222aa54111111,因为ana1(n1)d得,dn1d,所以,即n1n1n1636n13523n16,所以4n7,即n4,5,6,7,选A． 10.在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2y24分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M,N两点,点P为圆C

上任意一点,则PMPN的最大值为 . 【答案】 442

11. 若实数x,y满足xy40，则zx2y26x2y10的最小值为_______. 22【答案】【解析】18

解析：因为z=x+y+6x-2y+10=x+3()+(y-1)22表示的几何意义是区域的点x,y到-3,1的距离的平方，所以最小值为-3,1到直线x+y-4=0的距离的平方，即()()()|314|d218，故答案为18. 222【思路点拨】先找出z=x+y+6x-2y+10=x+32()+(y-1)22表示的几何意义是区域的点x,y到()(-3,1)的距离的平方，进而求出其最小值即可。

12.已知直线xym0与圆xy4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，若圆周上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则实数m的值为__________. 【答案】【解析】2

解析：根据题意画出图形，连接OA,OB,作OD垂直于AB于D点，

A22

BD4 OC

因为△ABC为等边三角形，所以AOB120,由余弦定理知：

0AB2=OA2+OB2-2OA?OBcos1200O（0,0）到直线AB的距离23，故BD=3,所以OD=1,所以

|m|=1，解得m2，故答案为2。

213.已知一个半径为Im的半圆形工件,未搬动前如图所示(直径平行于地面放置),搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移40m,则圆心D所经过的路线长是_______m.

【答案】40 1圆弧,从直立到扣下正好是一个旋转的过程,所以从开始41到直立可以设想为一个球的球心在转动过程中是平直前进的, O走的是线段,线段长为圆弧,从直立411到扣下,球心走的是即球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧,为π;再将它沿地面平移40米,则圆42开始到直立圆心O的高度不变,所走路程为心O所经过的路线长是:(π+40)米.

14.【2014·全国】直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，

则l1与l2的夹角的正切值等于________．

415.

[解析] 如图所示，根据题意，OA⊥PA，OA＝2，OP＝10，

3OA21所以PA＝OP2－OA2＝2 2，所以tan∠OPA＝＝＝，故

PA2 222tan∠OPA44tan∠APB＝＝，即l1与l2的夹角的正切值等于. 231－tan∠OPA3【综合编】

221.已知圆C:x+y+2x-4y+3=0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程; (2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值时点P的坐标. 22【答案】解(1)将圆C配方得(x+1)+(y-2)=2. [来源:Zxxk.Com] ①当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx, [来源:学_科_网Z_X_X_K] |k＋2|由=2,解得k=2±6,得y=(2±6)x.

21＋k②当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x+y-a=0,

|－1＋2－a|由=2,得|a-1|=2,即a=-1,或a=3.

2∴直线方程为x+y+1=0,或x+y-3=0.

综上,圆的切线方程为y=(2+6)x,或y=(2-6)x,或x+y+1=0,或x+y-3=0. [来源:学。科。网Z。X。X。K] 22(2)由|PO|=|PM|,得x1+y1=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0.

即点P在直线l:2x-4y+3=0上. [来源:学§科§网] 当|PM|取最小值时,即OP取得最小值,直线OP⊥l,∴直线OP的方程为2x+y=0.

5

2x＋y＝0，解方程组2x－4y＋3＝0，

得点P的坐标为－3，3.

1052.已知圆O的方程为x2y21,直线l1过点A(3，且与圆O相切. 0），(1)求直线l1的方程; (2)设圆O与x轴交与P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P',直线QM交直线l2于点Q'.求证:以P'Q'为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标. 解:(1)∵直线l1过点A(3,0),且与圆C:xy1相切, 设直线l1的方程为yk(x3),即22kxy3k0, 则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d∴直线l1的方程为y|3k|k211,解得k2, 422(x3),即y(x3). 44(2)对于圆方程x2y21,令y0,得x1,即P(1,0),Q(1,0).又直线l2过点A且与x轴垂直,∴直线l2方程为x3,设M(s,t),则直线PM方程为yt(x1). s1x3,4t2tP'(3,).Q'(3,). 解方程组,得同理可得,ts1s1y(x1)s1∴以PQ为直径的圆C的方程为(x3)(x3)(y(x2+y2-6x+1)+4t2t)(y)0, 又s2t21,∴整理得s1s16s-2y=0, 若圆C经过定点,只需令y=0,从而有x2-6x+1=0,解得tx322, ∴圆C总经过定点坐标为(322,0).

3.已知圆C：x2y22x30. （1）求出圆心C的坐标及半径长？

（2）直线L经过原点且不与y轴重合，L与圆C相交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，求证：（3）.斜率为1的直线m与圆C相交于D,E两点,求直线m的方程,使△CDE的面积最大? 答案

(1) 2 ; (2)定值是11为定值? x1x22

(3) xy30,xy10

34.【2014·全国新课标】.已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

6

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4. 设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．

由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，2为半径的圆．

由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM. 118因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋. 33341041016又|OM|＝|OP|＝2 2，O到直线l的距离为，故|PM|＝，所以△POM的面积为. 5555.已知以点C(t,)(tR,t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点. (Ⅰ)求证:△AOB的面积为定值; (Ⅱ)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若OMON,求圆C的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C的动点,求PBPQ的最小值及此时点P的坐标. 解:(Ⅰ)由题设知,圆C的方程为(xt)(y)t时,x=0或2t,则A(2t,0);当x=0时,y=0或定值 (II)∵OMON,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,∴C、H、O三点共线,则22t2t224422x2txyy0,当y=0,化简得2tt44114,则B(0,), ∴SAOBOAOB2t4为tt22t221直线OC的斜率kt2,∴t=2或t=-2 ∴圆心C(2,1)或C(-2,-1)∴圆C的方程为tt2(x2)2(y1)25或(x2)2(y1)25,由于当圆方程为(x2)2(y1)25时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去. ∴圆C的方程为(x2)2(y1)25 (Ⅲ)点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B(4,2) ,则PBPQPBPQBQ,又B到圆上点Q的最短距离为BCr(6)232535525. 1x,则直线BC与直线x+y+2=0的交点P2所以PBPQ的最小值为25,直线BC的方程为y的坐标为(42,)

33226.（2013·四川）已知圆C的方程为x(y4)4,点O是坐标原点.直线l:ykx与圆C交于M,N两点. (Ⅰ)求k的取值范围;

7

(Ⅱ)设Q(m,n)是线段MN上的点,且211.请将n表示为m的函数. 222|OQ||OM||ON|解:(Ⅰ)将ykx代入x2(y4)24得

则

(1k2)x28kx120,(*) [来源:Z*xx*k.Com] 由(8k)24(1k2)120得

k23. 所以k的取值范围是(,3)(3,) (Ⅱ)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则 22OM(1k2)x1,ON(1k2)x2,又OQm2n2(1k2)m2, 222由2OQ21OM21ON2得,211, 222222(1k)m(1k)x1(1k)x28k(x1x2)22x1x212211xxxx所以222

由(*)知

,, 121222221k1kmx1x2x1x23636n2m, 因为点Q在直线l上,所以,代入可得5n23m236, k225k35k3m36由m22及k23得

0m23,即

m(3,0)(0,3). 5k3所以

m2363m215m2180依题意,点Q在圆C内,则n0,所以

n, 5515m2180于是,n与m的函数关系为

n (m(3,0)(0,3)) 57.（2013·江苏）如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y2x4,设圆C的半径为1,圆心在l上. (1)若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; (2)若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围. 解:(1)由y A O l y2x4得圆心C为(3,2),∵圆C的半径为1 yx122x ∴圆C的方程为:(x3)(y2)1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为ykx3,即kxy30 ∴3k2331∴3k1k21∴2k(4k3)0∴k0或者k 4k21∴所求圆C的切线方程为:y3或者y3x3即y3或者3x4y120 4(2)解:∵圆C的圆心在在直线l:y2x4上,所以,设圆心C为(a,2a-4)

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则圆C的方程为:(xa)2y(2a4)1 2又∵MA2MO∴设M为(x,y)则x2(y3)22x2y2整理得:x2(y1)24设为圆D ∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即:圆C和圆D有交点

[来源:Zxxk.Com] ∴21a2(2a4)(1)221 由5a28a80得xR 由5a212a0得0x125 终上所述,a的取值范围为:0,125

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