3.1.2 空间向量的数乘运算优秀导入

2.2

空间向量的数乘运算

学习目标

1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；

2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

学习过程

一、课前准备

（预习教材，找出疑惑之处）

复习1：什么叫空间向量共线？空间两个向量a,b，

若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是

复习2：已知直线AB，点O是直线AB外一点，若OPOAOB，试判断A,B,P三点是否共线？

二、新课导学

学习探究

探究任务一：空间向量的共面

问题：空间任意两个向量不共线的两个向量a,b有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？

新知：共面向量：

同一平面的向量.

1.空间向量共面：

定理：对空间两个不共线向量a,b，向量p与向量a,b共面的充要条件是存在

，

使得

. 推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：

(1) 存在

，使

(2) 对空间任意一点O，有

试试：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OPOAOBOC,则点P与

A,B,C共面吗？

1213161323

反思：若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式OPxOAyOBzOC,且点P与

A,B,C共面，则xyz

.

典型例题

例1

下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（

）

①OMOAOBOC;

111②OMOAOBOC;

532③MAMBMC0;

④OMOAOBOC0. A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 17变式：已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一点，若向量OPOAOBOCR,53则P,A,B,C四点共面的条件是

例2

如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使求证：E,F,G,H四点共面.

变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面. OEOFOGOHk,

OAOBOCODA

E

B

F

H

小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向D

G

C

量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.

动手试试

122练1. 已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OPOAOBOC，试判555断：点P与A,B,C是否一定共面？

练2. 已知a3m2n,b(x1)m8n，a0，若a//b，求实数x.

三、总结提升

学习小结

1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律；

2. 空间两个向量共线的充要条件及推论.

知识拓展

平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.

当堂检测：

1. 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、AC11A. 有相同起点的向量

B．等长向量

C．共面向量

D．不共面向量. 2. 正方体ABCDA'B'C'D'中，点E是上底面A'B'C'D'的中心，若BB'xADyABzAA',则x＝

，y＝

，z＝

.

是（

）

3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则OP

OA

+

OB. 14. 平行六面体ABCDA'B'C'D', O为A1C与B1D的交点,则(ABADAA')

AO. 35. 在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为

（

）. A．0

B.1

C.

2

D.

3 课后作业：

1. 若a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y.

2.已知两个非零向量e1,e2不共线,ABe1e2,

AC2e18e2,AD3e13e2. 求证：A,B,C,D共面．