1.1.2 四种命题教案和课堂实录

1.1.2

四种命题

1.1.3

四种命题间的相互关系

学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．2.会判断命题的真假；3.会利用命题的等价性解决问题。

重点：知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．

难点：.会利用命题的等价性解决问题．

[自

主

预

习·探

新

知] 1．四种命题的概念及表示形式

名称

定义

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论互逆

命题

分别是另一个命题的结论和条件，那么这样原命题为“若p，则q”；的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫逆命题为“若q，则p”

做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论互否

命题

恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否原命题为“若p，则q”；定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把否命题为“若p，则其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题

对于两个命题，其中一个命题的条件和结论互为

逆否

命题

恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否原命题为“若p，则q”；定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如逆否命题为“若q，则果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题

2.四种命题间的相互关系

(1)四种命题之间的关系

p”

q”

表示形式

(2)四种命题间的真假关系

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？

(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？

[提示]

(1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．

(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．

[基础自测] 1．思考辨析

(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．

(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．

(

) (

) (3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．

[答案]

(1)×

(2)√

(3)√

2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是(

) A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”

B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”

(

)

C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”

D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”

B

[根据逆命题的定义知，选B.] 3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(

)

A．原命题、否命题

C．原命题、逆否命题

B．原命题、逆命题

D．逆命题、否命题

C

[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.] [合

作

探

究·攻

重

难]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)相似三角形对应的角相等；

(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；

(3)正方形的对角线互相平分．

[解]

(1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；

逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；

否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；

逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．

(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；

逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；

否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；

逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3. (3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；

逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；

逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．

[规律方法]

1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．

2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：

原词语

否定

词语

原词语

否定

词语

等于(＝)

大于(>)

小于(<)

是

都是

至多有一个

至少有两个

能

不等于(≠)

不大于(≤)

不小于(≥)

至少有一个

一个也

没有

至多有n个

至少有

(n＋1)个

不是

任意两个

某两个

不都是

任意的

某一个

(确定的)

所有的

某些

不能

[跟踪训练] 1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是(

)

A．若y≠kx，则x与y成正比例关系

B．若y≠kx，则x与y成反比例关系

C．若x与y不成正比例关系，则y≠kx

D．若y≠kx，则x与y不成正比例关系

D

[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.] (2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．

若a，b至少有一个为零，则ab＝0

[“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]

(1)对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为(

) A．0个

B．1个

C．2个

D．4个

(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

[思路探究]

(1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．

(2)思路一

写出原命题的逆否命题→判断其真假

思路二

原命题与逆否命题同真同假即等价关系

→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假

[解析]

(1)当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C. [答案]

C (2)法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0. 1∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－4<0，

∴原命题的逆否命题为真命题．

法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．

∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．

[规律方法]

判断命题真假的方法

1解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证. 2原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可. [跟踪训练] 2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．

(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；

(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；

(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；

(4)“对顶角相等”的逆命题．

[解]

(1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．

(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．

(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但

x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．

(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．

[探究问题] 1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？

提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．

2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．

提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．

(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

[思路探究]

(1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．

[解析]

(1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”

等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，

若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．

若a≠0，由题意知{a∴－3≤a<0 综上知，a的取值范围是－3≤a≤0. [答案]

[－3,0] (2)证明

原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即原命题的逆否命题为真命题．

Δ＝4a2＋12a≤0，

即{a－3≤a≤0，

∴原命题为真命题．

[规律方法]

1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．

2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．

[跟踪训练] 3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1. [证明]

“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1 ＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1 ＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0. ∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．

[当

堂

达

标·固

双

基] 1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是(

) A．若a∉A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉A

B．若a∈A，则b∉B

D．若b∉B，则a∉A

C

[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．] 2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(

) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3 C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3 A

[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.] 3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为

(

) A．1

B．2

C．3

D．4 B

[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，

则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.] 4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.

若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1

[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．] 5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．

(2)命题p的否命题是真命题．

判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，

所以该命题是真命题．