探究与发现 为什么截口曲线是椭圆精品学案

《椭圆及其标准方程》教学设计

教学环节

课

题

引

入

教学程序及设计

直接引入，同学们，今天我们来学习《椭圆及其标准方程》，实际上，椭圆我们在现实生活中经常遇到，比如说：卫星围绕地球运动轨迹（教师展示多媒体图片）. 那么，在现实生活中我们还遇到哪一些椭圆的形状呢？（请同学们思考后回答）. 三个学生列举了生活中遇到的椭圆形状。

设计意图

直接引入课题，并且借多媒体形成生动的直观图象，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性. 通过同学们举例现实生活中的椭圆形状，直观认识椭圆. 1．

给出椭圆的一些实物图片：天体运行图（月亮绕

地球，地球绕太阳旋转）、桌子，橄榄球。

通过图片、实物，吸这是实际生活中图形，数学中我们也遇到这一类引学生的注意力，提创

图形：归结为到两定点距离之和为定值的点的轨迹问高参与程度，为后续

题。如何用现有的工具画出图形？（启发学生用画圆学习做好准备。

的方法试着画图）

教师与学生一起找出上述问题注重概念形成过程，P设

的解决方案，并一同用给的工具通过让学生亲自动画出图形，与上述图形相似——手，思考问题；从感

椭圆。

性认识自然过渡到F1F2

2．动画演示椭圆的形成：

理性认识，培养学生问：哪些量是固定的、不变的观察、归纳、概括情

的？哪些量是变化的？

能力。

[学生讨论、作答] 通过讨论让学生都

问：椭圆如何定义？

积极地参与到学习境

[学生讨论、作答] 中来，体现学生主体

意识，开动大脑，训练思维。

通过讨论对椭圆的定义有初步的感性认识。并作归纳。

3．归纳，形成概念

定义：到平面内两个定点F1、F2的距离之和等于常在给出定义后，通过[来源学科网Z,X,X,K]

探

究

学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。

通过教师提问让学

生体会这样建系的好处。

同时让学生参与到

问题的解答中，体验方程推导的全过程，

数形结合思想，用代

数方法解决几何问题的思想和方法，起

到真正掌握这一方2222

(xc)y(xc)y2a

法的目的。

[化简过程由学生探索完成] 复习无理方程的化

简，老师演示化简过x2y21化简得

程来突破难点。

a2a2c2问

设a2c2b2(ac0)，

体现对称的思想及

(为什么要取平方？) 数学的美感

[学生思考，问题由老师来回答]

x2y2方程简化为：221(ab0)

ab

可以证明它就是椭圆的方程，我们称它为椭圆的

标准方程。

（3）若以把椭圆的焦点放在Y轴上建立坐标系，则椭

学生运用类比的方

[来源:学科网][来源:学科网]数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

定点F1、F2称为椭圆的焦点。

F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距。

问：为什么常数要大于|F1F2|？

不大于会如何？

（学生继续分组讨论，请出代表说讨论的结果）

4．椭圆的标准方程的推导

（1）如何选取坐标系？

P方案：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴

F1F2

y （3）推导方程

P以过F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平分线为Y轴，建立F1F2x 平面直角坐标系。

设P（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距│F1F2│为2c（c>0）、正常数为2a，则F1（-c,0）、F2（c,0）

根据椭圆的定义可得：│PF1│+│PF2│=2a

设问让学生加深对椭圆定义中的关键词汇的理解，进一步强化椭圆定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。

题

圆标准方程会是什么样的？教师与学生一起探索研究

x2(yc)2x2(yc)22ay F2P

椭圆的标准方程为：yx1 a2b222F1x (ab0)

2.两种类型的椭圆方程的比较：

x2y2焦点在X轴：221(ab0) F1（-c,0）、abF2（c,0） y2x2焦点在Y轴：221(ab0) F1（0,-c）、abF2（0,c）

【关系】c2a2b2

范

例

教

例1. 平面内有两个定点(-4,0),(4,0),平面上一点P到这两个定点的距离的和是10,P点的轨迹方程. 分析判断: 1.和是常数; 2常数大于两个定点的距离,故点的轨迹是椭圆. 3.焦点在x轴上,过两个定点的直线是x轴,它的线段垂直平分线是y轴.从而保证方程是标准方程. 4.根据已知求出a、c,再推出a、b写出椭圆的标准方程.

学

法，参照上面方法推导焦点在y轴的椭圆的标准方程。反馈学生的掌握情况，并以此训练学生的运算能力，活学活用能力。

学生此时已没有困难，能够动手完成。让学生体会成功喜悦，也起到激发学生学习数学的兴趣的作用。

通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方程的理解。也是对学生观察、归纳能力的训练。

巩固椭圆的定义。利用定义法来解决轨迹问题

通过此例的两个小题，让学生明白，在求椭圆标准方程时，首先要判断焦点所的位置，也是待定系数法的运用，对标准方程中a、b、c 的关系的掌握。

跟踪练习：

从基础入手，让学生掌握好基础知识。即掌握两种类型的椭圆方程的异同和根据标准方程判断焦点位置的方法（看大小）。

（学生口答完成）

教师分析：学生黑板【例2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),

板演。

(2,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于210，求它的标准方程. （学生黑板板演）

反

馈

练

习

x2y21，请填空：

1.

已知椭圆的方程为：2516利用练习，及时反馈，强化知识点的学习。

(1) a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__. (2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，

并且CF1=2,则CF2=___

2.椭圆3x2+2y2=1的焦点坐标是（ ）

66A.(0,－6)、(0,6)

B.(0,-1)、(0,1)

66C.(-1,0)、(1,0)

D.(-,0)、(6,0) 63.

如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 （ ）

A．(0, +∞) B．(0, 2) C．(1, +∞) D．(0, 1)

x2y21的焦点是 . 若CD为4.

椭圆 169过左焦点F1的弦，则F2CD的周长是 .

x2y21

上一点P到

焦点F1的距离等5. 椭圆10036于6，则点P到另一个焦点F2距

通过小结，使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，同时培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。

1．教材P37 体现分层教学的思想，提高学生的学习布

练习 1题；3题

积极性，使各层次的22xy置2．1的一个焦点学生都找到各自的思考题：已知直线经过椭圆94学习区，进一步完善作

教学目标的实现。

，且与椭圆交于A、B两点，求的周长。

FABF2业

1

[来源学科网ZXXK]离是 . 归

1．两种类型的椭圆方程的比较（注意板书内容）

2．总结判断焦点位置的方法。（看大小）

纳

x2y21m0n0

mn小

mn焦点在x轴结



mn焦点在y轴