1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学目标设计

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

教学目标

一、

知识与技能

1.

了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式（不要求记忆公式）.

2.

能运用柱体、锥体、台体的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.

二、过程与方法

重视从实际出发，从具体到抽象，通过计算机呈现丰富的实物模型——空间几何体，在此基础上引导学生观察、归纳、抽象、概括从而得出结论.

三、情感态度与价值观

本节是根据柱体、锥体、台体的结构特征并结合它们的展开图，推导它们的表面积的计算公式，从度量的角度认识空间几何体.

教学重点、难点

教学重点：柱体、锥体、台体的表面积.

教学难点：台体中圆台的表面积的推导.

教学过程

一、复习回顾

展示棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台的实物模型．

提出问题：如何求它们的表面积？

二、创设情景，引入新课

（一）柱体、锥体、台体的表面积

正方体及其展开图

长方体及其展开图

问题1: 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道它们的展开图与其表面积的关系吗？

问题2: 如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？它们的展开图是什么？有什么区别和联系？

h'h'h'h'

棱柱及其侧面展开图

棱锥及其侧面展开图

棱台及其侧面展开图

总结：S棱柱S底面S侧面（四边形）；

S棱锥S底面S侧面（三角形）；

S棱台S底面S侧面（梯形）．

S例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积.

【分析】由于四面体S-ABC的四个面是全A等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其BC中任何一个面面积的4倍.

D

问题3：如何求圆柱表面积，它的侧面展开图是什么？

如图，已知圆柱的底面半径为r，母线长为l，求它的表面积.

总结：矩形的高=圆柱的母线长；矩形的长=底面周长，

S圆柱2S圆S矩形2πr22πrl2πr(rl).

rOOl

圆柱及其展开图

问题4：如何求圆锥的表面积，它的侧面展开图是什么？（演示模型）

l

圆锥及其展开图

如图，已知圆锥底面半径为r，母线长为l，求它的表面积.

总结：扇形的面积=弧长半径,

S圆锥S圆S扇形2r12πr2πrlπr(rl),

12扇形的面积=1弧长半径

，

三角形面积=底高.

问题5：参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想圆台的侧面展开图是什么？（演示模型）（展示ppt）

SxAr1Or21lO2B台体及其展开图

如图，已知圆台下底面半径为r2，上底面半径为r1，母线长为l，求它的表面积.

总结：S圆台π(r1rl1r2lr2)

问题6：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的区别与联系．

22

2在S圆台π(r12rl，即有S圆锥πr2(r2l)；

1r2lr2)中，令r10令r1=r2，即有S圆柱2πr1(r1l)．

总结：因此只需记住圆台的表面积公式．

2S圆台π(r12rlrlr122)

例2

如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆外壁的表面积约是多少平方厘米（π取3.14，结果精确到1cm2）？

【分析】花盆的表面积=花盆的侧面积+下底面面积－底面圆孔的面积.

（二）柱体、锥体与台体的体积

1.

体积公式：

体积公式

体积公式

棱VSh

Vπr2h

圆柱

底高柱

棱11VS底h高

Vπr2h

圆锥

33锥

棱11V(S'S'SS)h

Vπ(r'2r'rr2)h

圆台

33台

2.

柱体、椎体、台体之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.

因而体积会有以下的关系：

11S'0S'S

V(S'S'SS)h



V柱Sh.

VSh

锥3台3三、例题精讲

例1

一个长方体相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是（

）.

【解析】设长方体的长宽高分别为a,b,c，则ab2,ac3,bc6，

三式相乘得(abc)236.

所以，长方体的体积为6.

例2 一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域.

EDAOBCF

【解析】如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm.

在RtEOF中，EF5cm,OF1xcm，

2所以EO125x24，

于是V1x32125x24.

依题意函数的定义域为{x|0x10}.

例3 一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3，母线长为6，现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出，当容器中的水是原来的5时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为

.

6【解析】容器中水的体积为Vr2l(3)2618.

流出水的体积为V'(15)V3，如图，

6l'2V'23π2.

πr2π(3)2设圆柱的母线与水平面所成的角为，则tan260.

323，解得所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.

点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出高度，解直角三角形而得所求角. 例4 在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积.

【解析】剪下的扇形的弧长与剪下的圆的周长是相等的.

设扇形半径为x，圆半径为r，则

12πx2πr，

∴

x=4r

，

ABxr2r(52)r.

4又

AB=2a，

∴(52)r2a，解得r(522)a23.

h r 圆锥的高hx2r215r，

1215(522)3a3π∴Vπrh.

336501点评：求已知的平面图形围成的旋转体的面积或体积的关键是正确分析平面图形与其围成的旋转体中有关量间的关系，搞清平面图形

上的哪些量在旋转体中不变，哪些发生了变化.

四、课堂小结

本节课主要介绍了求几何体的表面积和体积的方法：将空间图形问题转化为平面图形问题，利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积和体积，体现了一种化归思想.

五、课后作业

课本第28、29页习题1.3A组第1、2、4、5题.

教学反思：理解柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积公式，能够应用这些公式解决实际问题.让学生清楚柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积公式中各个量所表示的意义，并会套用公式进行计算.

学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤，从而更好地完成本节课的教学目标.