3.2.1 几个常用函数的导数教学设计(第一课时)

3.2.1 几个常用函数的导数

庐江裴岗中学 邢宝清

教学课题：几个常用函数的导数

教学目标：

知识与技能：

1、掌握几个常用函数的导数公式，了解函数导数表示的几何意义、物理意义。

2、了解由导数定义推导几个常用函数的导数的推导过程。

3、运用导数公式求yf(x)在xx0处的导数值。

过程与方法：

1、

了解由导数定义推导几个常用函数的导数的一般方法和基本步骤。

2、

运用“类比”思想求一些简单函数的导数。

教学重点、难点：

重点：

让学生会根据导数的定义求四个常用函数：yc,yx,yx2,y1的导数，x并能利用导数公式求函数yf(x)在x0处的切线的斜率以及切线的方程，引导学生了解导数的几何意义，物理意义。

难点：

1、

由导数定义求常用函数导数的推导过程。

2、

根据yf(x)的函数图象结合导数y'f'(x)描述函数值与自变量的变化情

况，理解函数导数与切线斜率的关系。

教学过程：

1．新课导入：

（1）、函数yf(x)的导数的定义

f'(x)y'limyf(xx)f(x)；

limx0xx0x

（2）、导数的几何意义

1 / 4

曲线yf(x)在某点处的切线的斜率；

（3）导数的物理意义

物体在某时刻的瞬时速度；

（4）、由导数定义求导数的三个步骤

a、求函数值增量：yf(xx)f(x)；

b、求平均变化率：yf(xx)f(x)；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limyf(xx)f(x)lim；

x0xx0x问题：如何根据上述求导步骤求一具体函数的导数呢？

2.授新课：

（1）

函数yf(x)c的导数

根据求导的三个步骤：

a、求函数值增量：yf(xx)f(x)cc0；

b、求平均变化率：y00；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limylim00；

x0xx0所以，常数函数的导数恒为0,

几何意义：yf(x)c的切线的斜率恒为0；

物理意义：若yf(x)c表示路程与时间的函数，则y'0表明物体瞬时速度恒为0，即物体静止。

（2）

函数yf(x)x的导数：

a、求函数值增量：yf(xx)f(x)xxxx；

b、求平均变化率：yx1；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

2 / 4

f'(x)y'lim

ylim11；

x0xx0几何意义：yf(x)x的切线的斜率恒为1；

物理意义：若yf(x)x表示路程与时间的函数，则y'1表明物体瞬时速度恒为1，即物体以速度为1的匀速运动。

例1、

求yf(x)kxb(k0)的导数并简述其几何意义、物理意义。

（注：学生练习）。

解：a、求函数值增量：yf(xx)f(x)k(xx)b(kxb)kx；

b、求平均变化率：ykxk；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limylimkk；

x0xx0几何意义：yf(x)kxb(k0)的切线的斜率恒为k；

物理意义：若yf(x)kxb(k0)表示路程与时间的函数，则y'k表明物体瞬时速度恒为k，即物体以速度为k的匀速运动。

说明：函数yf(x)c和yf(x)x都是函数yf(x)kxb(k0)的特例，其目的是让学生便于记忆、理解。

（3）、函数yf(x)x2的导数

a、求函数值增量：yf(xx)f(x)(xx)2x22xx(x)2；

y2xx(x)2b、求平均变化率：2xx；

xxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limylim(2xx)2xx0xx0

几何意义：f'(x)y'2x表示yf(x)x2在(x,y)的切线的斜率为2x，切线的斜率随x的变化而变化；

物理意义：若yf(x)x2表示路程与时间的函数，则y'2x表明物体在x时刻瞬时速度为2x，物体的瞬时速度随x的变化而变化，即物体变速运动。

例2、

已知yf(x)x2，求f'(4)的值（注：学生练习）

3 / 4

此例题设计意图：引导学生利用导数公式求函数在某点处的导数值，求曲线在某点处的斜率等问题，让学生明白用导数公式解决导数的相关问题是比较方便的。

（4）、函数yf(x)1的导数

xa、求函数值增量：yf(xx)f(x)b、求平均变化率：11x；

xxxx(xx)yx1；

()x2xx(xx)xxxc、对平均变化率在x0时取极限，即

f'(x)y'limy11lim(2)2

x0xx0xxxx注：让同学们仿照前面类似归纳其导数的几何意义、物理意义，让学生达到从学会到会学的跨越。

教学小结：

1、掌握以下导数公式：

公式1

(c)'0（其中c为常数）；

公式2

(x)'1；

公式3

(kxb)'k（其中k,b为常数）；

公式4

(x2)'2x；

11公式5

()'2

xx。2、了解函数导数的几何意义、物理意义；

3、体会由导数定义推导导数公式的三个步骤。

课后作业：

1、

作业：习题3.2

A组

1

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