1.1.3 四种命题间的相互关系设计意图

高二数学选修1-1 §1.1.2四种命题相互关系

学习目标

1、认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．

2、会利用命题的等价性解决问题．

3、体会反证法的思想．

学习过程

一、课前准备

1、四种命题的相互关系

2．四种命题的真假性

（1）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况. 原命题

逆命题

否命题

逆否命题

真

真

真

真

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

假

（2）四种命题的真假性之间的关系

①两个命题互为逆否命题，它们有_相同_的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性_没有关系__．

想一想：在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？

提示：因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4. 二、新课导学

※

学习探究

1、四种命题的真假关系

原命题为真，它的逆命题不一定为真；

原命题为真，它的否命题不一定为真；

原命题为真，它的逆否命题一定为真；

原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真．

2、四种命题的等价关系的应用

判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假，如带有否定词的命题真假的判断．因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．

练习：判断下列命题的真假. (1)

命题“在ABC中，若ABAC，则CB”的逆命题；

(2)

命题“若ab0，则a0且b0”的否命题；

(3)

命题“若a0且b0，则ab0”的逆否命题；

(4)

命题“若a0且b0，则a2b20”的逆命题. (5)

若x20，则x0

（1）（2）（3）（5）为真命题；（4）为假命题

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反思：（1）直接判断

（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. ※

典型例题

例题1. 证明：若x2y20,则xy0. （P7书本例题4）

分析：可以证明该命题的逆否命题“若x，y中至少有一个不为0，则x2y20,

”

证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x0,则x20,所以x2y20,这与x2y20,矛盾，故xy0. 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题

变式1 证明：若a2b22a4b30，则ab1.（P8书本练习）

分析：可以证明该命题的逆否命题“若ab1，则a2b22a4b30”

证明：若ab1，即ba1，所以有a2b22a4b3(a1)2(b2)2(a1)2(a1)20这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题

例题2.

判断命题“已知a，若关于x的不等式x2(2a1)x2a20的解集不是空集，则a1”x为实数，的逆否命题的真假．

分析：可以写出该命题的逆否命题证明之，也可以证明该命题的真假

证明：法一

原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋2a＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：

2∵抛物线y＝x＋(2a＋1)x＋2a＋2开口向上，

22 判别式Δ＝(2a＋1)－4(2a＋2)＝4a－4a－7，

142142a若Δ<0，则. 22所以当a<1时即x2(2a1)x2a20不为空集.故原命题的逆否命题为假. 法二

先判断原命题的真假．（略）

变式2 判断命题“若m0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题的真假

解

∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0. ∴方程x22x3m0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x22x3m0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x22x3m0有实数根”的逆否命题也为真．

※

动手试试

1.

求证：若一个三角形的两条边不等，这两条边

所对的角也不相等. 证明：该命题的逆否命题为“若一个三角形的两个角相等，这两个角所对的边也相等”

易知由三角形的等边对等角得出该命题的逆否命题为真命题，所以得出结论.

2.

命题“如果xa2b2，那么x2ab”的逆否

命题是（

C.

）

A.如果xa2b2，那么x2ab

B.如果x2ab，那么xa2b2

C.如果x2ab，那么xa2b2

D.如果xa2b2，那么x2ab

三、总结提升

※

学习小结

1. 四种命题的概念及其关系；

2. 命题的等价性判断命题的真假. ※

知识拓展

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方法技巧

反证法的应用

1．反证法的理论基础：反证法就是证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立．由于互为逆否命题的两个命题具有等价性，从逻辑角度看，原命题为真，则它的逆否命题也为真．在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立．

2．反证法的思想方法：命题“若p，则q”的逆否命题是“若非q，则非p”，假设q不成立，即非q成立，由此进行推理，则非p一定成立，这与p成立矛盾，那么就说明“假设q不成立”为假，从而可以导出“若p，则q”为真，达到论证的目的，这就是反证法的思想方法．

3、反证法证明命题的步骤：

(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立；

(2)归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

(3)说明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

否定结论是反证法的第一步，它的正确与否，对于反证法有直接影响．

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 用反法证明命题“23是无理数”时，假设正确的是（

D.

）. A.假设2是有理数

B.假设3是有理数

C.假设2或3是有理数

D.假设23是有理数

2. 下列命题中是真命题的是

(

D

)．

A．命题“若0logab1则0a1b”的逆命题

B．命题“若b3，则b29”的逆命题

C．命题“当x2时，x23x20的否命题

D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题

3．命题“若ab，则ac2bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数( B ) A．0

B．2

C．3

D．4 4．若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的 ( C

)．

A．原命题 B．逆命题 C．否命题 D．逆否命题

5．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题( C ) A．若A∪B＝B，则A∩B＝A B．若A∩B≠A，则A∪B≠B

C．若A∪B≠B，则A∩B≠A

D．若A∪B≠B，则A∩B＝A 课后作业

1.

用两种方法证明：若a2b2c2，则a,b,c

不可能都是奇数．（提示：可证明其逆否命题或者用反证法）

证明

法一

依题意，就是证明命题“若a2b2c2，则a,b,需证明其逆否命题“若a,∵a,c不可能都是奇数”为真命题．为此，只b,c都是奇数，则a2b2c2”为真命题即可．

c2都是奇数．于是a2b2为偶数，而c2为奇数，即a2b2c2∴原命b,c都是奇数，则a2,b2,题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．

法二

假设a,b,则a2,b2,c2都是奇数．得a2b2为偶数，而c2为奇数，即a2b2c2，c都是奇数，与a2b2c2矛盾．所以假设不成立，从而原命题成立．

2.

求证：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函

数，a,bR，若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0.

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证明

法一

原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a,则f(a)f(b)f(a)f(b)”．

若ab0，则ab,ba，

又∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，

bR，若ab0，∴f(a)f(b),f(b)f(a)) ∴f(a)f(b)f(b)f(a)．即原命题的逆否命题为真命题， ∴原命题为真命题．

法二

假设ab0，则ab,ba，

又∵f(x))在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)f(b),f(b)f(a)，

∴f(a)f(b)f(b)f(a)，

这与已知f(a)f(b)f(a)f(b)相矛盾，

因此假设不成立，故ab0.

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