1.4.1 全称量词优质课教学设计

1.4.1

全称量词

1.4.2

存在量词

[学习目标]

1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.

知识点一

全称量词和全称命题

(1)全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

知识点二

存在量词和特称命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. (2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”.

思考

(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？

(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？

答案

(1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.

(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”.

题型一

全称量词与全称命题

例1

试判断下列全称命题的真假：

(1)∀x∈R，x2＋2>0；

(2)∀x∈N，x4≥1；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解

(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题. (2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题. (3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题. 反思与感悟

判定全称命题的真假的方法：(1)定义法，对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；(2)代入法，在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假. 跟踪训练1

试判断下列全称命题的真假：

(1)∀x∈R，x2＋1≥2；

(2)任何一条直线都有斜率；

(3)每个指数函数都是单调函数. 解

(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，

因而有x2＋1≥1，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题. π(2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题. 2(3)无论底数a＞1或是0

题型二

存在量词与特称命题

例2

判断下列特称命题的真假：

(1)∃x0∈Z，x30<1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)有一个实数α，tanα无意义；

π(4)∃x0∈R，cosx0＝. 2解

(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，

∴“∃x0∈Z，x30<1”是真命题. (2)真命题，如梯形. π(3)真命题，当α＝时，tanα无意义. 2π(4)∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，而>1，

2π∴不存在x0∈R，使cosx0＝，

2π∴“∃x0∈R，cosx0＝”是假命题. 2反思与感悟

判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假. 跟踪训练2

试判断下列特称命题的真假：

2(1)∃x0∈Q，x0＝3；

2(2)∃x0，y0为正实数，使x20＋y0＝0；

(3)∃x0∈R，tanx0＝1；

(4)∃x0∈R，lgx0＝0. 解

(1)由于使x20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，

所以命题“∃x0∈Q，x20＝3”为假命题. 222(2)因为x0>0，y0>0，所以x20＋y0>0，所以“∃x0，y0为正实数，使x0＋y0＝0”为假命题. ππ(3)当x0＝时，tan＝1，所以“∃x0∈R，tanx0＝1”为真命题. 44(4)当x0＝1时，lg1＝0，所以“∃x0∈R，lgx0＝0”为真命题.

题型三

全称命题、特称命题的应用

例3

(1)若命题p：存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0，求实数a的取值范围；

(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围. 2解

(1)由ax20＋2x0＋a<0，得a(x0＋1)<－2x0，

2x02∵x0＋1>0，∴a<－2＝－x0＋1，

1x0＋x02

1当x0>0时，x0＋≥2，∴－x0≥－1，

1x0＋x0≤1，

1x0＋x0221当x0<0时，x0＋≤－2，∴－x02∴－的最大值为1. 1x0＋x0又∵∃x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0成立，

∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1). (2)①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－6<0不恒成立. ②当m＋1≠0，则

m＋1<0，m<－1，⇒

2Δ<0，3m－1<0，Δ＝m－1－4m＋1·

m<－1，13⇒综上，m<－. 1311m<－11或m>1，反思与感悟

有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别. 跟踪训练3

(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

(2)若命题p：1－sin2x＝sinx－cosx是真命题，求实数x的取值范围. 解

(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

77解得a≥，∴实数a的取值范围为[，＋∞). 44(2)由1－sin2x＝sinx－cosx，

得sin2x＋cos2x－2sinxcosx＝sinx－cosx，

∴sinx－cosx2＝sinx－cosx，

即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，

∴sinx≥cosx. π5π结合三角函数图象得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，此即为所求x的取值范围. 44π5π即p：∀x∈[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，有1－sin2x＝sinx－cosx是真命题. 44

化归思想的应用

例4

对任意x∈[－1,2]，有4x－2x1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围. ＋分析

通过换元，可转化为一元二次不等式的恒成立问题，通过分离参数，又可将恒成立问题转化为求最值的问题. 解

原不等式化为22x－2·2x＋2－a<0，①

1令t＝2x，因为x∈[－1,2]，所以t∈[，4]，

2则不等式①化为t2－2t＋2－a<0，即a>t2－2t＋2. 1所以原命题等价于∀t∈[，4]，a>t2－2t＋2恒成立，

2令y＝t2－2t＋2＝(t－1)2＋1，

1因为当t∈[，4]时，ymax＝10，所以只需a>10即可. 2故实数a的取值范围是(10，＋∞). 解后反思

在本题的解答过程中，用到了两次化归思想，在第一次通过换元，化归为一元二次不等式恒成立时，要特别注意新元的取值范围.

1.下列命题中全称命题的个数是(

) ①任意一个自然数都是正整数；

②有的等差数列也是等比数列；

③三角形的内角和是180°. A.0B.1C.2D.3 答案

C 解析

①③是全称命题. 2.下列命题中，不是全称命题的是(

) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数

C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数

答案

D 解析

D选项是特称命题.

3.下列特称命题是假命题的是(

) A.存在x∈Q，使2x－x3＝0 B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C.有的素数是偶数

D.有的有理数没有倒数

答案

B 13解析

对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立. 244.下列命题中，既是真命题又是特称命题的是(

) A.存在一个α0，使tan(90°－α0)＝tanα0

πB.存在实数x0，使sinx0＝

2C.对一切α，sin(180°－α)＝sinα

D.对一切α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ

答案

A 解析

含有存在量词的命题只有A，B，

π而sinx0≤1，所以sinx0＝不成立，故选A. 2π5.已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命题q：∀x∈(0，)，cosx<1，则下列命题为真命2题的是(

) A.p∧q

C.(綈p)∧q

答案

C 解析

当x0<0时，2x0<3x0不成立，

∴p为假命题，綈p为真命题，

π而x∈(0，)时，cosx<1成立，∴q为真命题. 2

1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断. 2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题. 3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题. B.p∨(綈q) D.p∧(綈q)