习题2.1教学设计一等奖

2.1.2

曲线与方程

【学习目标

】

1. 求曲线的方程；

2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质

【重点难点】

重点：曲线的方程、方程的曲线的概念；

难点：理解曲线的方程、方程的曲线的概念；求曲线的方程。

【预习案】

【导学提示】

任务一：[来源:Z.xx.k.Com]

(预习教材P36~ P37，找出疑惑之处）

已知曲线C的方程为

y2x2

，曲线C上有点A(1,2)，A的坐标是不是y2x2

的解？点(0.5,t)在曲线C上,则t=___ ．

任务二：曲线（包括直线）与其所对应的方程f(x,y)0之间有哪些关系?

【探究案】

探究一：

对议：

圆心C的坐标为(6,0)，半径为r4，求此圆的方程．

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．

若AB4，如何建立坐标系求AB的垂直平分线的方程．

探究二：

组议：有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到A(0,3)的距离的2倍，试求曲线的方程．

变式：现有一曲线在x轴的下方，曲线上的每一点到x轴的距离减去这点到点A(0,2)的距离的差是2，求曲线的方程．

[来源:Zxxk.Com]

小结：点P(a,b)到x轴的距离是 ；

点P(a,b)到y轴的距离是 ；

点P(1,b)到直线xy10的距离是

探究三：

组议：

1、已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2，一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．

2、有一曲线,曲线上的每一点到x轴的距离等于这点到直线xy10的距离的2倍，试求曲线的方程．

3、曲线上的任意一点到A(3,0),B(3,0)两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程

[来源:学§科§网]

7．已知点C的坐标是(2,2)，过点C的直线CA与x轴交于点A，过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B．设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程．

【训练案】

571．方程(3x4y12)log2(x2y)30的曲线经过点A(0,3)，B(0,4)，C(4,0)，D(,)中34的（ ）. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．已知A(1,0)，B(1,0)，动点满足MAMB2,则点M的轨迹方程是（ ）. A．y0(1x1) B．y0(x1)

C．y0(x1) D．y0(x1)

3．曲线y1x2与曲线yx0的交点个数一定是（ ）．

A．0个 B．2个

C．4个 D．3个

4．若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP•OA=4,则点P的轨迹方程是 ．

5．由方程x1y11确定的曲线所围成的图形的面积是 ．

6．以O为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？

[来源:学#科#网]

2.1.1 曲线与方程

【学习目标】

1．理解曲线的方程、方程的曲线. 2．求曲线的方程

【重点难点】

求曲线的方程

【预习案】

【导学提示】

（预习教材P34~ P36，找出疑惑之处）

任务一： 画出函数y2x2

(1x2)的图象．

任务二：：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．

[来源学。科。网

]

【探究案】

探究一： 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．

对议：能否写成yx，为什么？

探究二： 曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C与一个二元方程F(x,y)0之间，

如果具有以下两个关系：

1．曲线C上的点的坐标，都是 的解；

2．以方程F(x,y)0的解为坐标的点，都是 的点，那么，方程F(x,y)0叫做这条曲线C的方程；

曲线C叫做这个方程F(x,y)0的曲线．[来源:Zxxk.Com]

例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程式是xyk．

变式：到x轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是y50吗？

例2设A,B两点的坐标分别是(1,1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程．

变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A(0,3)，B(2,0)，C(2,0)．中线AO（O为原点）所在直线的方程是x0吗？为什么？

组议：求曲线的方程的步骤：

[来源:学科网

]

【训练案】

1. 与曲线yx相同的曲线方程是（ ）．

2A．yx B．yx2x

C．y3x3 D．y2log2x

2．直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(1,3)，若点C满足OC=OA+OB，其中，R，+=1，

则点C的轨迹为 ( ) ．A．射线 B．直线

C．圆 D．线段

3．A(1,0)，B(0,1)，线段AB的方程是（ ）．

A．xy10

B．xy10(0x1)

C．xy10

D．xy10(0x1)

4．已知方程ax2by22的曲线经过点A(0,53)和点B(1,1)，则a=

，b=

．

5．已知两定点A(1,0)，B(2,0)，动点p满足PAPB12，则点p的轨迹方程是

．

26．点P(1,a)在曲线x2xy5y0上，则a=___ ．[来源:学科网ZXXK]

x27．曲线2xyby0上有点Q(1,2)，则b= ．

8．点A(1,2)，B(2,3)，C(3,10)是否在方程x2xy2y10表示的曲线上？为什么？

9.求和点O(0,0)，A(c[来源:Zxxk.Com]

,0)距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．

10.下列方程的曲线分别是什么？

x2(1) yx (2) yx2x22x (3) yalogax

11.离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？

2.2.1 椭圆及其标准方程

第一课时 【学习目标】

1．能用数学符号和自然语言描述椭圆的定义。

2．能说出椭圆标准方程的两种形式及其推导过程。

3．会根据条件确定椭圆的标准方程，并会用待定系数法求椭圆的标准方程。

【重点难点】

1.椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。

2.椭圆标准方程的推导和化简。

【预习案】

【导学提示】

任务一：

复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．

复习2：方程(x3)2(y1)24

表示以

为圆心,

为半径的

．

任务二：预习教材38-40页，找出椭圆定义的关键点。

【探究案】

探究一：

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个

．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

P

F1F2

对议：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的

保持不变，即笔尖

等于常数．

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做 ，这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做 ．

组议：1.若将常数记为2a，为什么2aF1F2？

当2aF1F2时，其轨迹为

；

当2aF1F2时，其轨迹为

．

2.已知F1(4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是

．

探究二：

焦点在x轴上的椭圆的标准方程x2y2221ab0

其中b2a2c2ab

若焦点在y轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是

．

组议：

例1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴a4,b1，焦点在x轴上；

⑵a4,c15，焦点在y轴上；

⑶ab10,c25．

对议：方程x2y29-m=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的范围

．

[来源

学科网Z.X.X.K]

组议：

例2.

已知椭圆两个焦点的坐标分别是2,0，(2,0)，并且经过点532,2，求它的标准方程

．

[来源:Zxxk.Com]

对议：椭圆过点

2,0，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．

[来源:Z§xx§k.Com]

【训练案】

1．平面内一动点M到两定点F1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为（

）．

A．椭圆 B．圆

C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹

2．如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）．

A．(0,) B．(0,2)

C．(1,) D．(0,1)

3．如果椭圆x2100y2361上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一个焦点F2的距离是（

）．

A．4 B．14 C．12 D．8 已知ABC的顶点B、C在椭圆x24. 3y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（ ）．

A．23

B．6

C．43

D．12

5．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程

是 ．

6．如果点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式x2(y3)2x2(y3)210，点M的轨迹是

，它的方程是

．

7. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P3,26；

⑵焦点坐标分别为0,4,0,4，a5；

⑶ac10,ac4．

x2y28.椭圆4n1的焦距为2，求n的值．[来源:Zxxk.Com]

x2方程9y29.m1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的范围．[来源:Z#xx#k.Com]

2.2.1 椭圆及其标准方程 第二课时

【学习目标】

1．能用数学符号和自然语言熟练描述椭圆的定义。

2．能熟练说出椭圆标准方程的两种形式并会用待定系数法求椭圆的标准方程。

3．会求点的轨迹。

【重点难点】

1.椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。

2. 点的轨迹的求法。

【预习案】

【导学提示】

任务一：

x2y2复习1：椭圆上2591一点P到椭圆的左焦点F1的距离为3，则P到椭圆右焦点F2的距离是 ．

复习2：在椭圆的标准方程中,a6,b35,则椭圆的标准方程是

．

任务二：预习教材41页例2，例3，找出疑惑之处。

【探究案】

探究一：

组议：例1在圆x2y24上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段[来源学§科§网Z§X§X§K]

PD的中点M的轨迹是什么？

对议：

若点M在DP的延长线上，且DMDP32，则点M的轨迹又是什么？

探究二：[来源:学科网ZXXK]

组议：例2设点A,B的坐标分别为5,0,5,0。直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，求点M的轨迹方程

．

对议：点A,B的坐标是1,0,1,0，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2，点M的轨迹是什么？

【训练案】

1．若关于x,y的方程x2siny2cos1所表示的曲线是椭圆，则在（ ）．

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．若ABC的个顶点坐标A(4,0)、B(4,0)，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（ ）．

x2y2y2．2591

B．x2x2y2A2591

(y0)

C．1691(y0)

D．x2y2

2591(y0)

[来源:Zxxk.Com]3．设定点F

，F41(0,2)2(0,2)，动点P满足条件PF1PF2mm(m0)，则点P的轨迹是（ ）．

A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段[来源:学§科§网Z§X§X§K]

4．与y轴相切且和半圆x2y24(0x2)内切的动圆圆心的轨迹方程是 ．

5. 设F1,F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1||MF2|6，则动点M的轨迹是

．

6．已知三角形ABC的一边长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．

7．点M与定点F(0,2)的距离和它到定直线y8的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹。

8．求到定点A2,0与到定直线x8的距离之比为22的动点的轨迹方程．

9．一动圆与圆x2y26x50外切，同时与圆x2y26x910内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．

[来源:Z#xx#k.Com]

2.2.2 椭圆的简单几何性质

第一课时

【学习目标】

1．能说出椭圆的几何性质。

2．会分析椭圆标准方程中的a,b,c,e的几何意义，以及a,b,c,e之间的相互关系。3．能利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。

[来源:学_科_网][来源:Z|xx|k.Com]焦距

对称性

离心率

[来源:Zxxk.Com]

【重点难点】

1.能利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。

2.会应用椭圆的几何性质。

[来源学&科&网Z&X&X&K]

【预习案】

【导学提示】

任务一：

x2y2复习1：

椭圆

1上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是 ．1612x2y2复习2：方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是

．

5m

任务二：预习教材43-45页，总结椭圆的简单几何性质。

任务三：预习教材46-47页，例4，例5，体会几何性质的基本应用。

【探究案】

探究一：

焦点的位置

图形

焦点在x轴上

y焦点在轴上

标准方程

x2y21(ab0)

a2b2

范围

顶点

轴长

焦点

焦点位置

y2x2对议：椭圆1的几何性质呢？

169图形：

范围：x：

y：

对称性：椭圆关于

轴、

轴和

都对称；

顶点：（

），（

），（

），（

）；

长轴，其长为

；短轴，其长为

；

c离心率：

e=

．

a

bc组议：或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？

ab

探究二：

组议：例1 求椭圆16x225y2400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

对议：若椭圆是9x2y281呢？

探究三：

组议：例2 点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l:x2544的距离的比是常数5，求点M的轨迹．

小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆

．

对议：求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x轴上，a6，e13；

⑵焦点在y轴上，c3，e35；

⑶经过点P(3,0)，Q(0,2)；

⑷长轴长等到于20，离心率等于35．

[来源学。科。网Z。X。X。K]

【训练案】

221．若椭圆xy105m1的离心率e5，则m的值是（

）．

A．3 B．3或253 C．15 D．15或5153

2．若椭圆经过原点，且焦点分别为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率为（ ）．

A．34 B．23 C．12 D．14

3．短轴长为5，离心率e23的椭圆两焦点为F1,F2，过F1作直线交椭圆于A,B两点，则ABF2的周长为（ ）．

A．3 B．6 C．12 D．24

是椭圆x25y24．已知点P41上的一点，且以点P及焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标是 ．

5．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ．

6．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？

⑴9xy236与x2y2216121 ；

⑵x9y236与x2y226101

．

7．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴经过点P(22,0)，Q(0,5)；

⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)；

⑶焦距是8，离心率等于0.8．

一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2，已知BCF1F2，F1B2.8cm，F1F24.5cm，试建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

2.2.2 椭圆的简单几何性质

第二课时

【学习目标】

1．能熟练说出椭圆的几何性质。

2．能利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质。

3. 能够解决椭圆与直线的位置关系问题。

【重点难点】

1.能利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，会应用椭圆的几何性质。

2.能够解决椭圆与直线的位置关系问题。

【预习案】

【导学提示】

任务一：

椭圆x216y2复习1：121的焦点坐标是 ， ；长轴长 、短轴长 ；离心率 ．

复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？

任务二：预习教材47-48页，找出疑惑之处。

【探究案】

探究一：

组议：问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？

问题2：点与椭圆的位置如何判定？

问题3：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？

对议：例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另

变式：若图形的开口向上，则方程是什么？

探究二：

组议：例2 已知椭圆x225y291，直线l：4x5y400。椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

[来源学科网ZXXK]

对议：最大距离是多少？

【训练案】

1．设P是椭圆

x216y2121，P到两焦点的距离之差为2，则PF1F2是（ ）．

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．

A. 22 B. 212 C. 22 D. 21

3．已知椭圆x2y21691的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）．

A. 99975 B. 3 C. 4 D. 7

4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列，则其离心率为 ．

x2．椭圆45y25201的焦点分别是F1和F2，过原点O作直线与椭圆相交于A,B两点，若ABF2的面积是20，则直线AB的方程式是 ．

求下列直线3x10y250与椭圆x2y26.2541的交点坐标．

x2y27.若椭圆491，一组平行直线的斜率是32

⑴这组直线何时与椭圆相交？

⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？

8.已知地球运行的轨道是长半轴长a1.50108km，离心率e0.0192的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．[来源学#科#网

]

．经过椭圆x292y21的左焦点F1作倾斜角为60的直线l，直线l与椭圆相交于A,B两点，求AB的长．

[来源:学科网][来源:Z+xx+k.Com]