1.4.1 全称量词教学设计思路

1.4.1

全称量词

1.4.2

存在量词

学习目标

1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.

知识点一

全称量词、全称命题

思考

观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m≤5；

Q：对所有的m∈R，m≤5. (1) 上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个). 答案

(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分. (2)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等. 梳理

(1)概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题. (2)表示

将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”.

(3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题

是假命题，只需举出一个x0∈M，使得p(x0)不成立即可. 知识点二

存在量词、特称命题

思考

观察下面的两个语句，思考下列问题：

P：m>5；

Q：存在一个m0∈Z，m0>5.

(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个) 答案

(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题.语句P是命题Q中的一部分. (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. 梳理

(1)概念

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题. (2)表示

特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”.

(3)特称命题真假判定

要判定一个特称命题是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.

类型一

全称命题与特称命题的判断

命题角度1

全称命题与特称命题的不同表述

例1

设p(x)：2x是偶数，试用不同的表述方式写出下列命题：

(1)全称命题：∀x∈N，p(x)；

(2)特称命题：∃x0∈N，p(x0). 解

(1)全称命题：

①对所有的自然数x，2x是偶数；

②对一切的自然数x，2x是偶数；

③对每一个自然数x，2x是偶数；

④任选一个自然数x，2x是偶数；

⑤凡自然数x，都有2x是偶数. (2)特称命题：

①存在一个自然数x0，使得2x0是偶数；

②至少有一个自然数x0，使得2x0是偶数；

③对有些自然数x0，使得2x0是偶数；

④对某个自然数x0，使得2x0是偶数；

⑤有一个自然数x0，使得2x0是偶数. 反思与感悟

全称命题或特称命题的表述形式虽然很多，但是具体到一个问题时最为恰当的却只有一个，解题时注意理解. 跟踪训练1

“有些整数是自然数”这一命题为________命题.(填“全称”或“特称”) 答案

特称

解析

依据特称命题的构成易得. 命题角度2

全称命题与特称命题的识别

例2

判断下列命题是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解

(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称命题. (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题. (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题. 反思与感悟

判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练2

判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题. (1)自然数的平方大于或等于零；

(2)圆x2＋y2＝1上存在一个点到直线y＝x＋1的距离等于圆的半径；

(3)有的函数既是奇函数又是增函数；

n(4)对于数列n＋1，总存在正整数n0，使得an0与1之差的绝对值小于0.01. 解

(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0. |x0－y0＋1|(2)是特称命题，表示为∃(x0，y0)∈{(x，y)|x2＋y2＝1}，满足＝1.

2(3)是特称命题，∃f(x)∈{函数}，f(x)既是奇函数又是增函数. n0(4)是特称命题，∃n0∈N*，|an0－1|<0.01，其中an0＝. n0＋1类型二

全称命题与特称命题的真假的判断

例3

判断下列命题的真假.

(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；

(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；

(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

(4)存在一个实数x0，使得等式x20＋x0＋8＝0成立；

(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；

(6)∃x0∈R，x20－3x0＋2＝0. 解

(1)真命题. (2)真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数. (3)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为2，2就不能用正有理数表示. (4)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解. (5)假命题，只有x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立. 2(6)真命题，x0＝2或x0＝1，都能使等式x0－3x0＋2＝0成立. 反思与感悟

要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题. 要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题. 跟踪训练3

判断下列命题的真假：

(1)有一些奇函数的图象过原点；

(2)∃x0∈R，2x20＋x0＋1<0；

(3)∀x∈R，sin x＋cos x≤2. 解

(1)该命题中含有“有一些”，是特称命题.如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题. (2)该命题是特称命题. 1277∵2x20＋x0＋1＝2(x0＋)＋≥>0，

488∴不存在x0∈R，使2x20＋x0＋1<0. 故该命题是假命题. (3)该命题是全称命题. π∵sin x＋cos x＝2sin(x＋)≤2恒成立，

4∴对任意实数x，sin x＋cos x≤2都成立，故该命题是真命题. 类型三

利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围

例4

已知下列命题p(x)为真命题，求x的取值范围. (1)命题p(x)：x＋1>x；

(2)命题p(x)：x2－5x＋6>0；

(3)命题p(x)：sin x>cos x. 解

(1)∵x＋1>x，∴1>0(此式恒成立)，∴x∈R. (2)∵x2－5x＋6>0，∴(x－2)(x－3)>0，

∴x>3或x<2. π5π(3)∵sin x>cos x，∴2kπ＋

已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查.解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路. 解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制. 跟踪训练4

若方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2ax＋2＝0，x2－ax＋4＝0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围. 解

由方程x2＋ax＋1＝0无实根，可知a2－4<0，即a2<4，即－2

由方程x2＋2ax＋2＝0无实根，可知a2－2<0，即a2<2，即－2

由方程x2－ax＋4＝0无实根，可知a2－16<0，即a2<16，即－4

∴当a2<2，即－2

1.下列命题中，不是全称命题的是(

) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数

C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数

答案

D 解析

D选项是特称命题. 2.命题p：∃x∈N，x3

) A.p假q真

C.p假q假

答案

A 解析

∵x3

D.p真q真

故选A. 3.已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是(

) A.a≥0

B.a<0

C.b≤0

D.b>1 答案

B 解析

函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示：

由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1f(x2)为真命题，则必有a<0，故选B. 4.特称命题“∃x0∈R，|x0|＋2≤0”是________命题.(填“真”或“假”) 答案

假

解析

不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题. 5.若命题“∃x0∈R，x20＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________. 答案

[2，6]

解析

由已知得“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2，6].

1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词. 2判定全称命题的真假的方法.定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假. 3.判定特称命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x0，使命题p(x0)为真，否则命题为假.

40分钟课时作业

一、选择题

1.下列命题中为真命题的是(

) A.∃x0∈R，x20＋1<0 C.∀x∈R，|x|>3 答案

B 2.已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列B.∃x0∈Z，3x0＋1是整数

D.∀x∈Q，x2∈Z

命题为真命题的是(

) A.p∧q

B.(綈p)∧(綈q)

C.(綈p)∧q

D.p∧(綈q) 答案

D 解析

p为真命题，q为假命题，故綈p为假命题，綈q为真命题.从而p∧q为假，(綈p)∧(綈q)为假，(綈p)∧q为假，p∧(綈q)为真，故选D. 13.已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(

) 2A.(－∞，－1)

C.(－3，＋∞)

答案

B 1解析

原命题的否定为∀x∈R，2x2＋(a－1)x＋>0，

21由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，则－2

) A.[－16，0]

B.(－16，0)

C.[－4，0]

D.(－4，0) 答案

A 解析

由题意可知“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，

∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0，故选A. 5.下列四个命题：

①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数. 其中是真命题的为(

) A.①②③④

B.①②③ C.①②④

D.②③④

答案

C 解析

①所有无理数都是实数，为真命题；

②显然为真命题；

③显然不成立，为假命题；

④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题. 6.已知命题p：∃x0∈R，2(

) A.(綈p)∧q

B.(綈p)∨(綈q)

C.p∧(綈q)

D.p∨(綈q) x0B.(－1，3) D.(－3，1) >3x0π；命题q：∀x∈(0，)，tan x>sin x，则下列是真命题的是2

答案

D sin x1－cos xπ－－解析

当x＝－1时，21>31，所以p为真命题；当x∈(0，)时，tan x－sin x＝>0，2cos x所以q为真命题，所以p∨(綈q)是真命题，故选D. 二、填空题

7.已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是_______. 答案

(－∞，－1) 解析

由题意得Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 8.下列命题：

①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是______，既是特称命题又是真命题的是______.(填上所有满足要求的序号) 答案

①②③

④⑤

解析

①是全称命题，是真命题；

②是全称命题，是真命题；

③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；

④含存在量词“有的”，是特称命题，是真命题；

⑤是特称命题，是真命题；

⑥是特称命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°. 9.用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题. (1)实数的平方大于等于0，符号表示为____________. (2)存在一对实数x0，y0，使2x0＋3y0＋3>0成立，符号表示为____________________. 答案

(1)∀x∈R，有x2≥0 (2)∃x0，y0∈R，使2x0＋3y0＋3>0成立

解析

由题意，可表示为(1)∀x∈R，有x2≥0. (2)∃x0，y0∈R，使2x0＋3y0＋3>0成立. 10.已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x2若命题“p∧q”0＋4x0＋a＝0”，是真命题，则实数a的取值范围是________. 答案

[e，4]

解析

由命题“p∧q”是真命题，得命题p，q都是真命题. 因为x∈[0，1]，所以ex∈[1，e]，所以a≥e；∃x0∈R，x2即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，0＋4x0＋a＝0，解得a≤4，取交集得a∈[e，4].

三、解答题

11.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. (1)存在一条直线，其斜率不存在；

(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有惟一解；

1(3)存在实数x0，使得2＝2. x0－x0＋1解

(1)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题. (2)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有惟一解”，是假命题. 1(3)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，2＝2”，是假命题. x0－x0＋112.已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围. 解

由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题. 若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立，

所以a≤1. 若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，

所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2. 综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. 13.若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围. 解

①当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒有公共点，

所以a∈R. ②当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立. 又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ1＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1. 综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，a∈[－1，1].