1.4.1 全称量词PPT及专用教学设计内容

1.4 全称量词与存在量词

知识点：

(1)全称量词和全称命题

全称量词

符号

全称命题

形式

(2)存在量词和特称命题

存在量词

存在一个、至少有一个、有一个、对某个、有些

符号表示

特称命题

形式

[问题思考] (1)命题p“每一个实数的平方都大于1”是全称命题吗？是真命题吗？

提示：是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”，但它不是真命题．

(2)命题q“每一个实数的平方都不大于1”是全称命题吗？是真命题吗？

提示：是全称命题，且是假命题．

(3)下列命题是特称命题的有哪些？

①有一个平行四边形是菱形；

②任何一个平行四边形是菱形；

③某些平行四边形是菱形；

④有的平行四边形是菱形．

提示：①③④．

[思考] 判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是什么？

名师指津：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看该命题是否含有全称量词或存在量词．

例1．判断下列语句是全称命题，还是特称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sinα＋cosα＝1；

22所有的、任给、每一个、对一切

∀

含有全称量词的命题

“对M中任意一个x，有p(x)成立”，

可用符号简记为∀x∈M，p(x) ∃

含有存在量词的命题

“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，

可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)

(4)有一个函数，既是奇函数又是偶函数；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

[尝试解答] (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

方法总结：判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤

(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．

(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．

(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．

练一练

1．下列语句是特称命题的是(

) A．整数n是2和7的倍数

B．存在整数n，使n能被11整除

C．x>7 D．∀x∈M，p(x)成立

解析：选B B选项中有存在量词“存在”，故B项是特称命题，A和C不是命题，D是全称命题．

2．判断下列命题是全称命题还是特称命题：

(1)负数没有对数；

(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；

(3)∀x∈{x|x是无理数}，x是无理数；

(4)∃x0∈Z，log2x0>0. 解：(1)和(3)为全称命题．(2)和(4)为特称命题．

[思考2] 如何判定一个全称命题的真假？

名师指津：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

[思考2] 如何判定一个特称命题的真假？

名师指津：要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使2

p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．

例2．(1)下列命题中的假命题是(

) A．∃x0∈R，lg x0＝0

B．∃x0∈R，tan x0＝1 C．∀x∈R，x>0 D．∀x∈R，2>0 (2)判断下列命题的真假：

①任意两向量a，b，若a·b>0，则a，b的夹角为锐角；

②∃x0，y0为正实数，使x0＋y0＝0；

③在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P. [尝试解答] (1)当x＝0时，x＝0，故选项C为假命题．

(2)①因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉>0，所以cos〈a，b〉>0，又0≤〈a，b〉≤π，π所以0≤〈a，b〉<，即a，b的夹角为零或锐角．故它是假命题．

2②因为x＋y＝0时，x＝y＝0，所以不存在x0，y0为正实数，使x0＋y0＝0，故它是假命题．

③由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

[答案] (1)C 方法总结：判断全称命题与特称命题真假的方法

(1)全称命题真假的判断

对于全称命题“∀x∈M，p(x)”：

①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；

②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可．(通常举反例) (2)特称命题真假的判断

对于特称命题“∃x0∈M，p(x0)”：

①要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．(通常举正例) ②要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．

练一练

3．判断下列命题的真假．

12(1)∀x∈R，都有x－x＋1>；

2(2)∃α0，β0，使cos(α0－β0)＝cos α0－cos β0；

(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N. 11211解：(1)真命题．因为x－x＋1－＝x－＋≥>0. 2244222223223x

12所以x－x＋1>恒成立．

2ππ(2)真命题．例如，α0＝，β0＝，符合题意．

42(3)假命题．例如，x＝1，y＝5，x－y＝－4∉N.

讲一讲

3．写出下列命题的否定，并判断其真假．

12(1)p：∀x∈R，x－x＋≥0; 4(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x0∈R，x0＋4x0＋6≤0；

(4)s：至少有一个实数x，使x＋1＝0. [尝试解答]

(1) 1：∃x0∈R，x2－x＋004<0，假命题

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