习题2.3第二课时教学设计

同课异构：双曲线及其标准方程

授课人：邱岳东

【学习目标】

1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．

2、掌握双曲线的标准方程(重点)．

3、会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题(难点)．

【知识提炼·梳理】

1、双曲线的定义

把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

【温馨提示】

把定常数记为2a，当2a＜|F1F2|时，其轨迹是双曲线；当2a＝|F1F2|时，其轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点)；当2a＞|F1F2|时，其轨迹不存在．

2、双曲线的标准方程

焦点位置

标准方程

焦点坐标

a，b，c的关系

【温馨提示】

焦点F1、F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上，若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．

【思考尝试·夯基】

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(

) (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(

) x2y2(3)方程m－n＝1(mn＜0)表示焦点在x轴上的双曲线．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)×

1 焦点在x轴上

焦点在y轴上

x2y2y2x2a2－b2＝1_____ (a＞0，b＞0) a2－b2＝1____ (a＞0，b＞0) F1(－c，0)，F2(c，0)

F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2＋b2

2、满足条件a＝2，一个焦点为(4，0)的双曲线的标准方程为(

) x2y2y2x2x2y 2A、4－12＝1

B、

12－4＝1

C、

4－16＝1

x2x2D、16－4＝1 解析：由a＝2，c＝4，得b2＝c2－a2＝12，又一焦点(4，0)在x轴上，所以双曲线的标准方程x2y2为4－12＝1.答案：A

3、已知定点A，B，且|AB|＝2，动点P满足|PA|－|PB|＝1，则点P的轨迹为(

) A、双曲线

B、双曲线的一支

C、两条射线

D、一条射线

答案：B

4、若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．答案：－1

x2y25、已知P是双曲线64－36＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．

x2y2解析：由双曲线方程64－36＝1知，a＝8，b＝6，则c＝a2＋b2＝10.因为P是双曲线上一点，

所以||PF1|－|PF2||＝2a＝16，又|PF1|＝17，所以|PF2|＝1或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，所以|PF2|＝33.答案：33 【例题讲解】类型1

求双曲线的方程

【典例1】

x2y2(1)求以椭圆16＋9＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；

(2)已知双曲线通过M(1，1)，N(－2，5)两点，求双曲线的标准方程．

解：(1)法一：由题意知双曲线的两焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)．

y2x22516设双曲线方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程得a2－b2＝1. y2x2又a＋b＝9，解得a＝5，b＝4.所以双曲线的标准方程为5－4＝1. 2222法二：||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25＝2a，所以a＝5，所以b2＝c2－a2＝9－5＝4. y2x2所以双曲线的方程为5－4＝1. AB1(2)设所求双曲线的方程为Ax2＋By2＝1.将点M(1，1)，N(－2，5)代入上述方程，得,4A25B1

2

8Ax2y27解得，故所求双曲线的标准方程为7－7＝1. B187归纳升华

用待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤

(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上．

(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程，当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．

(3)定值：根据题目的条件建立相关系数的方程，解出系数，代入所设方程．

【例题讲解】类型2

双曲线定义的应用

x2y21的左、【典例2】已知F1，F2是双曲线右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|916＝32.试求△F1PF2的面积．

解：由已知得，a＝3，b＝4，c＝9＋16＝5，所以2c＝10，2a＝6. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理，

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2100－100得cos∠F1PF2＝＝2|PF|·2|PF|·|PF||PF|＝0，

121211所以∠F1PF2＝90°，所以S△F1PF2＝2|PF1|·|PF2|＝2×32＝16. 归纳升华

双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．

令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有

22S(1)定义：|r1－r2|＝2a.(2)余弦公式：4c2r1r22rr12cos

.(3)面积公式：PF1F21r1r2sin

. 2一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．

【合作探究】类型3

双曲线中有关焦点三角形问题

【典例3】已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝(

) 1334A、4

B、5

C、4

D、5

解析：(1)因为由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝22，所以|PF1|＝2|PF2|＝42，

3

|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2（42）2＋（22）2－423则cos ∠F1PF2＝＝＝4.答案：C 2|PF1|·|PF2|2×42×22[迁移探究1]

(变换条件)上例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60”，则△F1PF2的面积是________．

解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|21得cos ∠F1PF2＝＝2，所以|PF1|·|PF2|＝8，所以

2|PF|·|PF|121S△F1PF2＝2|PF1|·|PF2|sin 60°＝23.答案：23

→→【迁移探究2】(变换条件)上例中将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“PF1·PF2＝0”，则△F1PF2的面积是________．

→→→→解：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，由于PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2. 所以在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4，

1所以S△F1PF2＝2|PF1|·|PF2|＝2.答案：2 归纳升华

在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF1|－|PF2||＝2a的应用．其次是要注意利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．

【合作探究】类型4

由双曲线的标准方程求参数

【典例4】求满足下列条件的参数的值．

(1)已知双曲线方程为2x2－y2＝k，焦距为6，求k的值；

x2y2x2y2(2)椭圆4＋a2＝1与双曲线a－2＝1有相同的焦点，求a的值．

x2y2k解：(1)若焦点在x轴上，则方程可化为k－k＝1，所以2＋k＝32，即k＝6；

2y2x2k若焦点在y轴上，则方程可化为－＝1，所以－k＋()＝32，即k＝－6.综上所述，k－k－k22的值为6或－6. (2)由双曲线方程知焦点在x轴上，且c2＝a＋2(a＞0)．由椭圆方程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．因此a的值为1.

4

归纳升华

1、在解题时，首先要确定焦点位置，根据相应的标准方程确定a2，b2的值，然后求解．

2、有时要注意对焦点在x轴、y轴上分类讨论，不要漏解．

x2y23、由于(1)题设中k的正负未定，不能误以为k－k＝1就是双曲线的标准方程，需分类讨论．

2【课堂小结】

1、不要漏了双曲线定义中的[||PF1|－|PF2||＝2a(2a＜|F1F2|)]的绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线．

2、在双曲线的标准方程中，a＞b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．

在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2. 3、用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn＜0)的形式求解，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，实为一种好方法．

【当堂检测】

一、选择题

1、已知M(－2，0)、N(2，0)，|PM|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是(

) A、双曲线

B、双曲线左边一支

C、双曲线右边一支

D、一条射线

解析：由双曲线的定义知动点P的轨迹是双曲线右支．答案：C x2y22、设点P在双曲线9－16＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(

) A、22

B、16

C、14

D、12 解析：由双曲线定义知|PF2|－|PF1|＝6，又|PF1|∶|PF2|＝1∶3，由两式得|PF1|＝3，|PF2|＝9，进而易得周长为22.答案：A 13、平面内动点P(x，y)与A(－2，0)，B(2，0)两点连线的斜率之积为4，动点P的轨迹方程为(

) x22x22x22A、4＋y＝1

B、4－y＝1

C、4＋y＝1(x≠±2)

x22D、4－y＝1(x≠±2)

1yy1x22解析：依题意有kPA·kPB＝4，即·＝(x≠±2)，整理得4－y＝1(x≠±2)．答案：D x＋2x－24y2x24、若方程4－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(

) m＋1A、－1

B、m>－1

C、m>3

D、m<－1

5

解析：依题意应有m＋1>0，即m>－1.答案：B

x2y2x2y25、若椭圆m＋n＝1(m>n>0)和双曲线a－b＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(

) 1A、m－a

B、2(m－a)

C、m2－a2

D\m－a

解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2m.①

由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a.②

①2－②2得4|PF1|·|PF2|＝4(m－a)，所以|PF1|·|PF2|＝m－a.答案：A

二、填空题

6、已知双曲线两个焦点的坐标为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于6.则双曲线的标准方程为________．

y2x2解析：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为a2－b2＝1(a>0，b>0)．

因为2a＝6，2c＝10，所以a＝3，c＝5.所以b2＝52－32＝16. y2x2y2x2所以所求双曲线标准方程为9－16＝1.答案：9－16＝1

x2y27、在平面直角坐标系xOy中，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值k－1k－3范围为________．

x2y2解析：将方程化为－＝1，若表示焦点在x轴上的双曲线，则有k－1>0且3－k>0，即k－13－k1

x2y28、若双曲线以椭圆16＋9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为________．

x2y2解析：椭圆16＋9＝1的焦点在x轴上，且a＝4，b＝3，c＝7，所以焦点为(±7，0)，左右顶点为(±4，0)．于是双曲线经过点(±7，0)，焦点为(±4，0)，则a′＝7，c′＝4，所以b′2＝9，x2y2x2y2所以双曲线的标准方程为7－9＝1.答案：7－9＝1

三、解答题

x2y29、双曲线C与椭圆27＋36＝1有相同焦点，且经过点(15，4)．

(1)求双曲线C的方程；(2)若F1，F2是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面积．

6

y2x2解：(1)椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，设双曲线的方程为a2－b2＝1，则a2＋b2＝32＝9.①

1615又双曲线经过点(15，4)，所以a2－b2＝1，②

解①②得a2＝4，b2＝5或a2＝36，b2＝－27(舍y2x2去)，所以所求双曲线C的方程为4－5＝1. (2)由双曲线C的方程，知a＝2，b＝5，C＝3.设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则|m－n|＝2a＝4，

平方得m2－2mn＋n2＝16.①

在△F1PF2中，由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mncos 120°＝m220153＋n＋mn＝36.②

由①②得mn＝3，所以△F1PF2的面积为S＝2mnsin 120°＝3. 210、如图，已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．

解：设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，

所以|MC1|－|MC2|＝22，又C1(－4，0)，C2(4，0)，

所以|C1C2|＝8.所以22＜|C1C2|. 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支．

x2y2因为a＝2，c＝4，所以b＝c－a＝14.所以点M的轨迹方程是2－14＝1(x≥2)．

222

7