1.2.1 充要条件优秀说课稿

一师一优课、一课一名师

段伟军教学设计

1.2.2充要条件

(一)教学目标 1.知识与技能目标：

（1）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

（2）正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. （3）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．

2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3. 情感、态度与价值观：

激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

（二）教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

（三）教学过程

学生探究过程：

1.思考、分析

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断：

p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

【解析】要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

又q



p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件

2.类比归纳

一般地,如果既有pq

，又有qp

就记作p



q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

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概括地说,如果p



q,那么p

与

q互为充要条件. 3.例题分析

例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（2）p:x

＞

0,y

＞

0,q: xy＞

0；

（3）p: a

＞

b ,q: a + c

＞

b + c；

（4）p:x

＞

5, ,q: x

＞

10 （5）p: a

＞

b ,q: a2

＞

b2

【解析】要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题（1）和（3）中，pq

，且qp，即p



q，故p

是q的充要条件；

命题（2）中，pq ,但q



p，故p

不是q的充要条件；

命题（4）中，pq

，但qp，故p

不是q的充要条件；

命题（5）中，pq

，且qp，故p

不是q的充要条件；

例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

【解析】设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可．

证明：如图所示. （1）充分性（p



q）：

作OP⊥l于点P则OP=d，若d=r，则点P在⊙O

上，

在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.

所以，除点P外直线l上的点都在⊙O

的外部，

即直线l与⊙O仅有一个公共点P. 所以直线l与⊙O

相切.

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（2）必要性（qp）: 若直线

l 与⊙O

相切，不妨设切点P，则OP ⊥

l. 因此，d = OP = r .

4．类比定义

一般地，

若pq ,但q



p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q



p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q



p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若pq ,但q



p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p



q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若p



q，且q



p，则p是q的既不充分也不必要条件．

5．巩固练习：

（1）

“x＝3”是“x2＝9”的(

) A．充分而不必要的条件

B．必要而不充分的条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要的条件

【解析】

当x＝3时，x2＝9；

但x2＝9，有x＝±3. ∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．

【答案】

A （2）设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的(

)

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A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】

当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q的必要不充分条件．

【答案】

B （3）在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．

【答案】

x2＋(y－2)2＝0

x(y－2)＝0 （4）若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？

解：

因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件. （5）指出下列命题中，p是q的什么条件．

x－1313(1)p：2－≤，q：x2＋x－3≥0；

3224(2)p：ax2＋ax＋1＞0的解集是R，q：0＜a＜4；

(3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B. 713≤x≤解：

(1)化简得p：x2，

23x≤－6或x≥.如图

q：x2

713≤x≤由图可知，x22

3xx≤－6或x≥，

2

所以p是q的充分不必要条件．

(2)因为ax2＋ax＋1＞0的解集是R，所以①当a＝0时成立；

②当a≠0时，ax2＋ax＋1＞0的解集是R，

2Δ＝a－4a＜0，有

a＞0，

解得0＜a＜4，所以0≤a＜4.

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所以p不能推出q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．

(3)对于p：A∪B＝A⇔B⊆A，对于q：A∩B＝B⇔B⊆A，

即p⇔q，所以p是q的充要条件．

（6）若A＝{x|a＜x＜a＋2}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，且A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：

∵A是B的充分不必要条件，

∴AB. 又A＝{x|a3}．

因此a＋2≤－1或a≥3，

∴实数a的取值范围是a≥3或a≤－3. （7）设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．

csin C证明：充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccos A可得1＋2cos A＝＝. bsin B即sin B＋2sin Bcos A＝sin(A＋B)．

化简，得sin B＝sin(A－B)．

由于sin B＞0且在三角形中，

故B＝A－B，

即A＝2B. 必要性：若A＝2B，

则A－B＝B，sin(A＋B)＝sin B，

即sin(A＋B)＝2sin Bcos A＝sin A. ∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．

∵A、B、C为△ABC的内角，

∴sin(A＋B)＝sin C，

即sin C＝sin B(1＋2cos A)．

b2＋c2－a2b2＋c2－a2＋bcsin C∴＝1＋2cos A＝1＋＝，

sin Bbcbc22cb＋c＋bc－a即＝. bbc化简得a2＝b(b＋c)．

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∴a2＝b(b＋c)是“A＝2B”的充要条件.

课堂小结

1.总结如下：①若pq ,但q

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，

则p是q的充要条件；

④若pq，且q



p，则p是q的既不充分也不必要条件．

2.充要条件的判定方法：如果“若p，则q”与“ 若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是. 作业

习题1.2A组练习第4题，B组练习第2题.