1.1.3 四种命题间的相互关系课件配套优秀公开课教案设计

1.1.3

四种命题间的相互关系

学习目标

1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一

四种命题间的关系

思考

原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？

答案

原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．

梳理

四种命题间的关系

知识点二

四种命题间的真假关系

原命题

真

真

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

(1)两个互逆命题的真假性相同．(×) (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√) (3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×) 逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

类型一

四种命题间的关系及真假判断

例1

判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假．

(1)若ab≤0，则a≤0或b≤0；

(2)若a2＋b2＝0，则a，b都为0. 考点

四种命题的概念

题点

判断四种命题的真假

解

(1)逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0.它为假命题．

逆否命题：若a＞0且b＞0，则ab＞0.它为真命题．

所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．

(2)原命题与其逆命题“若a，b都为0，则a2＋b2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．

反思与感悟

互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．

跟踪训练1

下列命题为假命题的是(

) A．“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”的否命题

B．“正三角形都相似”的逆命题

C．“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题

D．“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题

考点

四种命题的概念

题点

判断四种命题的真假

答案

B 解析

A中，原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”，是真命题．

B中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．

C中，原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝11＋4m＜0，∴m＜－，

4∴原命题的逆否命题是真命题．

D中，原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”，

∵x不是无理数，∴x是有理数，

又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，∴原命题的逆否命题是真命题．

类型二

等价命题的应用

例2

设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 考点

反证法逆否证法

题点

逆否证法

证明

将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，

则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．

11因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2. 22所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．

反思与感悟

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

跟踪训练2

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1. 考点

反证法和逆否证法

题点

逆否证法

证明

命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若

4b2－2a＋1＝0”．

由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，

显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证. a＝2b＋1，则a2－

1．命题“若(綈p)，则q”的逆否命题为(

) A．若p，则(綈q)

C．若(綈q)，则p

考点

四种命题的概念

题点

按要求写命题

答案

C B．若(綈q)，则(綈p) D．若q，则p

2．下列命题为真命题的是(

) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

考点

四种命题间的相互关系

题点

写出四种命题利用四种命题的关系判断真假

答案

A 解析

对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．

3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．

考点

四种命题的概念

题点

按要求写命题

答案

若x>0，则x>1

若x≤0，则x≤1 4．有下列命题：

①“若k＞0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；

11②“若＞，则a＜b”的逆命题；

ab③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．

其中是假命题的是________．

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案

①②

解析

对于①，其否命题为：若k≤0，则方程x2＋2x＋k＝0无实根，显然为假命题；对于②，11若a＜b，则＞，为假命题；③则为真命题，故假命题为①②. ab5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

考点

四种命题间的相互关系

题点

写出四种命题利用四种命题的关系判断真假

解

(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．

(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，

所以该命题是真命题．

写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．

一、选择题

1．以下说法错误的是(

) A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题

B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题

C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数

D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

B 2．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为(

) A．0

C．2

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案

B 解析

互为逆否关系的两个命题的真假性相同．

3．“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是(

) A．0

C．2

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案

C 解析

只有其逆命题、否命题为真命题．

4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(

) A．互逆命题

C．互为逆否命题

B．互否命题

D．以上都不正确

B．1 D．3 B．1 D．4

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

A 解析

设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．

5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(

) A．若x

C．若x>y，则x2>y2

考点

四种命题的概念

题点

按要求写命题

答案

B 解析

根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

6．给出下列四个命题：

①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中为真命题的是(

) A．①②

C．③④

考点

反证法和逆否证法

题点

逆否证法

答案

D 解析

根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题．

an＋an＋17．原命题为“若

) A．真、真、真

C．真、真、假

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

A B．假、假、真

D．假、假、假

B．②③

D．②④

B．若x≤y，则x2≤y2

D．若x≥y，则x2≥y2

解析

从原命题、逆命题的真假入手，an＋an＋1

8．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题为(

) A．①②

B．②③

C．①③

D．③④

考点

四种命题间的关系

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

C 解析

①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q≤1时，Δ＝4－4q≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C. 二、填空题

9．命题“若a＞b，则ac2＞bc2(a，b∈R)”的否命题的真假性为________．(填“真”或“假”) 考点

四种命题的概念

题点

判断四种命题的真假

答案

真

解析

其否命题为：若a≤b，则ac2≤bc2，它为真命题．

10．已知命题p：若a＞b＞0，则log1a＜log1b＋1，则命题p及其逆命题、否命题、逆否22命题中真命题的个数为________．

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案

2 解析

∵a＞b＞0，∴log1a＜log1b，

22∴命题p为真命题，其逆命题为“若log1a＜log1b＋1，则a＞b＞0”，

22∵当a＝2，b＝2时，log1a＜log1b＋1成立，

22而a＝b，∴逆命题为假命题．

∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，

∴命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2. 11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(只填序号) 考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

②

解析

①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1为模型来观察：上底面A1B1C1D1中任何三个顶点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．易知其是真命题．

三、解答题

12．判断下列命题的真假．

(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；

(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；

(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0. 考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假

解

(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．

(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．

(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．

13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假

解

方法一

(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

方法二

(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．

四、探究与拓展

14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为(

) ①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．

A．1

B．2

C．3

D．4 考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案

B 解析

由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B. 115．已知条件p：|5x－1|＞a＞0，其中a为实数，条件q：2＞0，请选取一个适当2x－3x＋1的a值，利用所给出的两个条件p，q分别作为集合A，B，构造命题“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假

解

由|5x－1|＞a＞0，得5x－1＜－a或5x－1＞a，

1－a1＋a即x＜或x＞. 55由1＞0，得2x2－3x＋1＞0，

2x－3x＋121解得x＜或x＞1. 2为使“若A，则B”为真命题，而其逆命题为假命题，则需AB. 3令a＝4，得p：x＜－或x＞1，

5满足题意，故可以选取a＝4，

1此时原命题是“若|5x－1|＞4，则2＞0”．

2x－3x＋1