小结教学设计及教案分析

多面体与球的组合问题

纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.

一、球与柱体的组合体

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1

球与正方体

如图1所示，正方体ABCDA设正方体的棱长为a，1BC11D1，E,F,H,G为棱的中点，O为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH和其内切圆，则OJra；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形2EFGH和其外接圆，则GOR2a；三是球为正方体的外接23a.通2球，截面图为长方形ACACR111和其外接圆，则AO过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.

O的表面上，E，F分别是棱AA1，例

1

棱长为1的正方体ABCDADD1的1BC11D1的8个顶点都在球中点，则直线EF被球O截得的线段长为（

D

）

A．2 2

B．1

C．12

2D．2

【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（

B

）

A．2

B．4

C．8

D．16 1.2

球与长方体

长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为l.当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接

la2b2c2球的道理是一样的，故球的半径R.22[来源:Zxxk.Com]

例

2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( A

) 10πA.

3B.4π

8πC.

37πD.

3【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为

36π

. 1.3

球与正棱柱

球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱ABCA1B1C1的高为h,底面边长为a，如图2所示，D和D1分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高DD1的中点O，h3OD,AOR,ADa,借助直角三角形AOD的勾股定理，23可求R()2(h232a). 3R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最

大

值，例3 正四棱柱ABCDA1BC11D1的各顶点都在半径为为

42

R2

. A1 E1 C1 【牛刀小试】直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，ABC1200，若ABBC1，则球O的表面积为（

C ）

AA123，A．4

B．8

C．16

D．24

A E O C 二、球与锥体的组合体

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行图3 充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体

正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体SABC的棱长为a，内切球半径为r，外接球的半

径为R,取AB的中点为D，E为S在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面体的高.在截面三角形SDC,作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O.此时，COOSR,,OErSE23a,CEa,33则有2a266222解得：Rra，RrCE=，Ra,ra.41233这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便. 例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为

(C

) A.32626264326

B. 2+

C. 4+

D.

33332.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥

球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：

一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5，三棱锥A1AB1D1的外接球的球心和正方体ABCDA1BC11D1的外接球的球心重合.设AA则R1a，3a.二是如果三棱锥的三条侧2棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的a2b2c2l2(l为长方体的体对角线长). 球心就是三棱锥的外接球的球心.R442例5

在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,若侧棱SA23,则正三棱锥SABC外接球的表面积是

36π

. 【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为(

C

) A．12

B．43

C．3

D．123

2.3

球与正棱锥

球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积. 例6 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（

D

）

A．

B.[来源学科网]

4

C.

4

D.

33【牛刀小试】已知正三棱锥PABC,点P,A,B,C都在半径为3的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为____2.4

球与特殊的棱锥

球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图8，三棱锥SABC,满足3________.

3[SA面ABC,ABBC,取SC的中点为O,由直角三角形的性质可得：OAOSOBOC,所以O点为三棱锥SABC的外接球的球心,则RSC. 2例7

矩形ABCD中，AB4,BC3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,则四面体ABCD的外接球的体积是(

C

) A.

125125125125

B.

C.

D.12963[来源学科网]