2.1.4 平面与平面之间的位置关系教案推荐

§2.1.4

平面与平面之间的位置关系

一、教材分析

平面与平面的位置关系是人教版必修二第二章的内容。在此之前，学生们已经学***面、空间中直线与直线的关系和空间中直线与平面的关系，这为过渡到本课题的学习起到了铺垫的作用；同时，它也是学习空间几何的基础。因此，本课题的理论、知识是学好以后课题的基础，它在整个教材中起着承上启下的作用。

二、学情分析

为有效实施教学,达成教学目标,充分体现学生的主体性地位,从三个方面进行学情分析。知识层面:学生已经掌握了空间点、线的位置关系,学习了空间中直线与直线的位置关系,也学***面的位置关系。能力层面:学生已经初步掌握了空间的部分位置关系,具有一定的空间想象力。情感层面:学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力以及合作交流等方面的发展不够均衡。

三、教学目标

1．知识与技能（1）了解空间中平面与平面的位置关系；（2）培养学生的空间想象能力.2．过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.3．情感、态度与价值

让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性，提高学生的学习兴趣.

四、教学重点与难点

重点：理解掌握空间两平面之间的位置关系；

难点：学会判断、证明两平面之间的位置关系

五、教学策略设计

为激发学生求知欲,促进师生之间的交流,依据教学目标和学生的认知水平,在教法上主要通过创设情境、启发探究、多媒体辅助等手段,在学法上,主要是通过教师的引导使学生学会参与探究,学生借助实物,通过类比、交流等,得出性质及基本应用。教学用具:投影仪、投影片、长方体模型。

六、教学设计

（一）复习

1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点,

③直线与平面平行——没有公共点.

（二）导入新课

思路1. (情境导入)

拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

思路2.(事例导入)

观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

图1 设计意图：:以生活中的实例以及长方体为载体提出直线与平面位置关系种数问题。通过操作使学生直观感知直线和平面的三种位置关系教学时引导学生以长方体为载体分析相应的直线与平面的位置关系，得到直线与平面的位置关系有且只有两种：

(1)两个平面平行一没有公共点；

(2)两个平面相交一有一条公共直线。

（三）推进新课、新知探究、提出问题

①什么叫做两个平面平行？

②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交? ⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交. 问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果：

①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2

图3 ③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直

线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.

如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图4.

图4 设计意图：通过讨论，使学生明确定义既表明了各种位置关系的本质特征，同时还可以定义判断是否存在相应的位置关系。

（四）应用示例

思路1

例1

已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.

解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.

图5 设计意图：引导学生理解和分析，有面面平行定义可以看出,直线a,b分别在平面α,β内因此a,b是不可能有公共点的。因为若有公共点那么这个点也必是两个平面的公共点，两个平面也就不可能平行了因此这两条直线不相交(是平行直线或异面直线)培养学生的空间想象能力和知识的应用能力。

例2

如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.

解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.

图6 变式训练

α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是(

) A.α、β都平行于直线l、m

B.α内有三个不共线的点到β的距离相等

C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β

D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β

分析：如图7,分别是A、B、C的反例.

图7

答案：D 点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维.

思路2

例1

α∩β=l,aα,bβ,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示. 活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.

解：如图8,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.

图8 变式训练

α∩β=l,aα,bβ,b∩β=P,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.

解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.

图9

直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明. 设计意图：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力.

例2

如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，

图10 （1）画出l的位置；

（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.

解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，

则平面DMN与平面A1C1的交线为QN. QN即为所求作的直线l.如图10. （2）设QN∩A1B1=P, ∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1, ∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N, 111∴A1P=D1N=C1D1=a. 24413∴PB1=A1B1－A1P=aaa. 44变式训练

画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.

解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，

图11 ∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P. ∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线. 点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点.

（五）知能训练

三棱柱的各面把空间分成几部分? 解：分为21部分.

（六）拓展提升

已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a, 求证：b、c是异面直线. 证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交. (1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾. (2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.

∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾. ∴b,c是异面直线. （七）课堂小结

本节主要学***面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：

①两个平面平行——没有公共点；

②两个平面相交——有一条公共直线.

另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点.

（八）作业

课本习题2.1

B组1、2、3.

七、教学反思

当我接到这次教学任务时我是既兴奋又紧张，兴奋的是学校交给我这个教学任务是对我的信任和展现自我的机会，紧张的是我第一次接触新教材，而新教材的变化很大，不仅仅是教学内容的变化，更主要的是教学理念、教学形式、教学手段发生了根本的变化。为了保证高质量的完成这次教学任务，我做了大量的前期准备工作。

首先，认真研究教材和《普通高中课程标准实验教科书数学》，初步确定教学内容：两个平面平行的概念、表示方法，两个平面平行的判断定理、性质定理及其应用。

其次，反复阅读新课程标准，理解新课程的基本理念。新课程倡导主动探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式；要求教师在教学中要关注学生的主体参与，师生互动；强调对基本概教师在教学中要关注学生的主体参与，师生互动；强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，要求教师在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程；引导学生通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言；注重数学思想的渗透；注重数学知识与实际的联系。为此，我调整了原计划的教学内容，去掉性质定理及其应用，留时间给学生去思考、发现、探索。新课程提倡实现信息技术与课程内容的有机，整合的基本原则是有利与学生认识数学的本质。结合本节课的内容我制作了PPT课件，目的是让学生通过直观感知平面与平面的位置关系，提高学生的几何直观能力，能发现知识发生和发展的过程。

这节课仍有很大的进步空间，比如说：语言更精练些，数学实验最好让学生自己完成。在今后的教学中，我将努力改进不足之处，提升自己的教学能力与水平。