习题2.1优秀教案设计

课本问题的探究

课本中的习题作为教材的重要组成部分，具有非常典型的示范作用，需要去认真揣摩，探究各种解题方法，它会蕴含着大量的一般性方法，一般性结论，因此是命题的重要源头。在练习课或是复习课中，我们要充分发挥这些习题的潜在功能，拓展这些问题的应用，适当对这些问题进行变式探究、引申拓展，留住问题背后的数学价值，并应用相关的方法和结论进行解题。

（人教A版选修2-1第37页A组第4题）1过原点的直线与圆x2y26x50相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程. 此题考查运动变化的直线与圆的位置关系，此种问题要抓住运动变化中不变的性质，一般情况不变包括以下三点：①定点；②定长；③定值. 例如说直线位置不变就是过定点，方向不变就是倾斜角是定值；圆的两要素就是圆心和半径；圆锥曲线就是位置和大小. 我们做题时就要充分挖掘图形的几何特征，然后用代数语言来描述几何问题，最终通过坐标运算来研究几何图形，然后把得出的代数结论化成几何结论，充分体现了曲线与方程的思想，也就是数形结合的思想. 解法一：设Mx,y，Ax1,y1，Bx2,y2，则

x12y126x15022xy226x250①②，

①-②得：x1x2x1x26y1y2y1y20，即

y1y2xx6. 12x1x2y1y2所以yx3，即x2y23x0.

xy解方程组

55xxx2y26x5033得或.

2222xy3x0y5y533因此，点M的轨迹方程为xy3x0，225x3. 3解法二：由圆的一般方程可得圆的圆心坐标为C3,0，半径r2，连接CM，则由垂径定理得CMAB，所以OMC为直角三角形，因此由勾股定理可得：

x2y2x3y29，

化简得：xy3x0. 222

解法三

由解法二可知OMC为直角三角形，则OMMC0，所以

x,y3x,y0，

即x2y23x0. 解法四：由解法二可知OMC为直角三角形，取斜边OC的中点N，则N3,0，由直239角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得：xy2. 24解法五：由解法二可知OMC为直角三角形，则kOMkMC1，所以

2yy1x0,x3. xx3化简得：xy3x0x0,x3. 22当x3时，y0，点M的轨迹为一个点M3,0，此时直线刚好为y0，符合题意；

当x0时，y0，点M的轨迹为一个点M0,0，不合题意，

后四种解法求自变量的取值范围都跟解法一相同，故略去. 此题以直角三角形为载体考查动点轨迹方程，通常会想到利用垂直或是直角三角形的勾股定理或斜边上的中线是斜边的一半来解决问题，直线垂直我们利用向量这个工具会简便很多，另外中点问题还可以用代数法中的“点差法”和根与系数的关系. 例如：

3x2y2（人教A版选修2-1第49页A组第8题）已知椭圆1，一组平行线的斜率是. 249（1）这组直线何时与椭圆相交？

（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上. 3yxb32解：（1）设直线方程为yxb，联立方程组2. 消去y得：

22xy1949x26bx2b2180*. 要使直线与椭圆相交，则方程*必须有两个不相等的实根，于是有

6b362b2180. 2解得32b32，因此当32b32时，直线与椭圆相交.

（2）解法一

假设直线与椭圆相交于Ax1,y1，Bx1,y1两点，设AB的中点为Mx,y，则

x12y1214922x2y2194①. ②x1x2x2xx2x1x2y1y2y1y20，把yy1y2得3x2y0. ①—②得1249y1y23xx212因此点M的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在这条直线上. 解法二

假设直线与椭圆相交于Ax1,y1，Bx1,y1两点，设组AB的中点为Mx,y，3yxb2联立方程2，消去y得：9x26bx2b2180. 2xy1942bxx1233yybb，于是可以得到

由根与系数的关系可得，则x1x2212222b18xx129x1x21xb23，

yyb2y122所以3x2y0. 因此点M的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦（不包括端点），这些弦的中点在这条直线上. x2（2017年全国Ⅰ文科）设A，B是曲线C:y上两点，A和B的横坐标之和为4. 4（1）求直线AB的斜率；

C在M处的切线与直线AB平行，（2）设M为曲线C上一点，且AMBM，求直线AB

的方程.