1.1.1 命题第一课时教学设计

第一章

常用逻辑用语

1．1

命题及其关系

课时练1

命题

►►见学生用书P001

作业目标

学法指导

1.可以判断真假的陈述句是命题。命题的1.了解命题的概念。

2．会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式。

条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可。

2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式。含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中。

知识点1

命题的定义

1.下列语句中，是命题的是________。

①红豆生南国。

②作射线AB。

③中国领土不可侵犯！

④当x≤1时，x2－3x＋2≤0。

答案

①④

解析

②和③都不是陈述句，根据命题的定义可知①④是命题。

2．给出的下列语句中，不是命题的是________。

①2是无限循环小数；

②x2－3x＋2＝0；

③当x＝4时，2x>0；

④垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？

⑤一个数不是奇数就是偶数。

答案

②④

解析

判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“能判断真假”和“陈述句”这两个要点。②虽然是陈述句，但无法判断它的真假，所以不是命题；④不是陈述句，所以不是命题。故填②④。

知识点2

命题真假的判断

3.下列命题是真命题的是(

) A．若a2＝4，则a＝2

11C．若a＝b，则a＝b

答案

C 解析

判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项。由a2＝4得a＝±2，排除A；取a＝b＝－1，排除B；－2<1，但(－2)2>12，排除D。故选C。

4．下列命题为假命题的是(

) A．△ABC中，若sinA>sinB，则A>B

B．若|a|＝|b|，则a＝b

C．若ac2>bc2，则a>b

D．x2－x＋1>0 答案

B 解析

对于选项A，sinA>sinB⇔A>B，故为真命题；对于选项B，若a与b方向相反，则不成立，故为假命题；选项C、D皆为真命题。故选B。

知识点3命题的构成

5.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假。

(1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等；

(2)负数的立方是负数；

(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2。

解

(1)若一个多边形是正n边形(n≥3)，则这个正n边形的n个内角全相等。此命题是真命题。

(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数。此命题是真命题。

B．若a＝b，则a＝b

D．若a

(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2。此命题是假命题。

——第1级

/

夯实基础练——

1．已知下列语句：

①你喜欢鲁迅的作品吗？

②斜率相同的直线平行。

③向抗洪英雄致敬！

④x<－3或x>3。

⑤5≥5。

其中不是命题的是(

) A．①②③

C．②④

答案

B 解析

①是疑问句，③是感叹句，④无法判断真假，故①③④均不是命题，显然②⑤均是命题。故选B。

2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是(

) A．余弦值

C．一个角是第二象限角

答案

C 解析

原命题可改写为“若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0”，故选C。

3．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是(

) A．这个数能被2整除

B．这个数能被3整除

C．这个数既能被2整除，也能被3整除

D．这个数是6的倍数

答案

C B．第二象限

D．没有条件

B．①③④

D．①③⑤

解析

原命题可改写为“如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除”。故选C。

4．下列命题中为真命题的是(

) A．0是{0,1,2}的真子集

B．关于x的方程x2＋|x|－6＝0有四个实数根

C．设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2

D．若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1 答案

D 解析

A中，0是集合{0,1,2}中的元素，不是真子集；B中，由x2＋|x|－6＝0，得|x|＝2，所以x＝±2，方程有两个实数根；C中，当c＝0时，ac2>bc2不成立；D中，因为a≠0，所以(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1>a4＋a2＋1，是真命题。

5．已知下列三个命题：

11①若一个球的半径缩小到原来的2，则其体积缩小到原来的8；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x＋y＋11＝0与圆x2＋y2＝2相切。

其中真命题的序号是(

) A．①②③

C．①③

答案

C R414解析

①若r＝2，则体积为3πr3＝8×3πR3，即其体积缩小到原1来的8，所以①正确；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，所以②错误。排除A、B、D，故选C。

6．下面的命题中是真命题的是(

) A．y＝sin2x的最小正周期为2π

cB．若方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则a>0 2B．①②

D．②③

C．如果M⊆N，那么M∪N＝M

→→D．在△ABC中，若AB·BC>0，则B为锐角

答案

B 1－cos2x112π解析

y＝sinx＝＝－2cos2x＋2，T＝2＝π，故A为假22→→命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C为假命题；在△ABC中，当AB·BC>0→→时，向量AB与BC的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题。故选B。

7．命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”的条件p是____________，结论q是______________________________________。

答案

一个函数是奇函数

这个函数的定义域和图象均关于原点对称

解析

将题中命题写成“若p，则q”的形式：若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称。

8．已知命题“函数f(x)＝cos2ωx－sin2ωx的最小正周期是π”是真命题，则实数ω的值为________。

答案

±1 2π解析

依题意，得f(x)＝cosωx－sinωx＝cos2ωx，所以2ω＝π，22解得ω＝±1。

9．已知命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________。

答案

[－3,0] 解析

由题知ax2－2ax－3≤0恒成立。当a＝0时，－3≤0成立；a<0，当a≠0时，解得－3≤a<0。所以－3≤a≤0。

2Δ＝4a＋12a≤0，

10．判断下列语句是否是命题。若是，判断其真假，并说明理由。

(1)我希望明年考上理想的大学；

(2)一个整数不是合数就是质数；

(3)若xy＝1，则x，y互为倒数。

解

(2)(3)是命题，(1)不是命题。因为1既不是合数也不是质数，所以(2)是假命题；由倒数的定义，知(3)是真命题。

11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假。

(1)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除；

(3)正弦值相等的两个角的终边相同。

解

(1)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形。该命题为假命题。

(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除。该命题为真命题。

(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同。该命题为假命题。

——第2级

/

对接名校练——

1．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题。如果函数f(x)＝3＋log2x的图象与g(x)的图象关于________对称，则函数g(x)＝________。(注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形) 答案

本题答案有几种情况，如：①x轴，－3－log2x；

②y轴，3＋log2(－x)；

③原点，－3－log2(－x)；

④直线y＝x,2x－3等。

2．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围。

解

因为命题“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅。

设全集U＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，

3则U＝mm≤－1或m≥2。



假设关于x的方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，

m∈U，则x1＋x2≥0，x1x2≥0，

m∈U，所以4m≥0，2m＋6≥0，

3解得m≥2。

3又因为集合mm≥2关于全集U的补集是{m|m≤－1}，



所以关于x的方程x2－4mx＋2m＋6＝0至少有一个负根时，m≤1。

所以A∩B≠∅时，实数m的取值范围是{m|m≤－1}。

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