3.2.1 几个常用函数的导数教学设计(教案)

3. 2.1几个常用函数导数

课前预习学案

（预习教材P88~ P89，找出疑惑之处）

复习1：导数的几何意义是：曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

复习2：求函数yf(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量y

y（2）求平均变化率

x（3）取极限，得导数y/＝f(x)limy

x0x

=

上课学案

学习目标1记住四个公式，会公式的证明过程；

2.学会利用公式，求一些函数的导数；

3.知道变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习重难点：会利用公式求函数导数，公式的证明过程

学习过程

合作探究

探究任务一：函数yf(x)c的导数.

问题：如何求函数yf(x)c的导数

新知：y0表示函数yc图象上每一点处的切线斜率为

. 若yc表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

即一直处于静止状态. 试试：

求函数yf(x)x的导数

反思：y1表示函数yx图象上每一点处的切线斜率为

. 若yx表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x,y3x,y4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数ykx(k0)增（减）的快慢与什么有关？

典型例题

例1 求函数yf(x)1的导数

x11yf(xx)f(x)xxx解析：因为

xxx

1

x(xx)1

2x(xx)xxxx所以ylimy11lim(2)2

x0xx0xxxx函数

导数

y1

xy1

2x例2

求函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2解析：因为

xxxx22xx(x)2x22xx

x

所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0函数

导数

yx2

y2x

y2x表示函数yx2图像（图3.2-3）上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

有效训练

练1. 求曲线y2x21的斜率等于4的切线方程. 练2. 求函数yf(x)x的导数

反思总结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：

，

，

. 2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的. 当堂检测

1.f(x)0的导数是（

）

A．0

B．1

C．不存在

D．不确定

2.已知f(x)x2,则f(3)（

）

A．0

B．2x

C．6

D．9

2

的点为（

）

41111A．(0,0)

B．(2,4)

C．(,)

D．(,)

4162414. 过曲线y上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是

x5. 物体的运动方程为st3，则物体在t1时的速度为

，在t4时的速度为

. 3. 在曲线yx2上的切线的倾斜角为课后练习学案

1. 已知圆面积Sr2，根据导数定义求S(r). 2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t天后，氡气的剩余量为A(t)5000.834t，问氡气的散发速度是多少？

3

3.2.1几个常用函数导数（教案）

教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；

2、能利用导数公式求简单函数的导数。

教学重难点：

能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用

教学过程：

检查预习情况：见学案

目标展示：

见学案

合作探究：

探究任务一：函数yf(x)c的导数. 问题：如何求函数yf(x)c的导数

新知：y0表示函数yc图象上每一点处的切线斜率为

. 若yc表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

即一直处于静止状态. 试试：

求函数yf(x)x的导数

反思：y1表示函数yx图象上每一点处的切线斜率为

. 若yx表示路程关于时间的函数，则y

，可以解释为

探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数y2x,y3x,y4x的图象，并根据导数定义，求它们的导数.

（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？

（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？

（3）函数ykx(k0)增（减）的快慢与什么有关？

典型例题

1．函数yf(x)c的导数

根据导数定义，因为yf(xx)f(x)cc0

xxxylim00

所以ylimx0xx0函数

导数

yc

y0

y0表示函数yc图像上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数yf(x)x的导数

因为yf(xx)f(x)xxx1

xxxylim11

所以ylimx0xx0函数

导数

4

yx

y1

若yx表示路程关于时间的函y1表示函数yx图像上每一点处的切线的斜率都为1．数，则y1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数yf(x)x2的导数

yf(xx)f(x)(xx)2x2因为

xxxx22xx(x)2x22xx

x所以ylimylim(2xx)2x

x0xx0函数

导数

yx2

y2x

y2x表示函数yx2图像上点(x,y)处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x0时，随着x的增加，函数yx2减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加得越来越快．若yx2表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．

4．函数yf(x)1的导数

x11yf(xx)f(x)xxx因为

xxxx(xx)12

x(xx)xxxx所以ylimy11lim(2)2

x0xx0xxxx函数

导数

y5．函数y1

xy1

2xx的导数

5

6推广：若yf(x)xn(nQ*)，则f(x)nxn1

反思总结

1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：

，

，

. 2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的. 当堂检测

1.f(x)0的导数是（

）

A．0

B．1

C．不存在

D．不确定

2.已知f(x)x2,则f(3)（

）

A．0

B．2x

C．6

D．9 3. 在曲线yx2上的切线的倾斜角为的点为（

）

41111A．(0,0)

B．(2,4)

C．(,)

D．(,)

4162414. 过曲线y上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是

x5. 物体的运动方程为st3，则物体在t1时的速度为

，在t4时的速度为

. 板书设计

略

作业

略

6