2.1.4 平面与平面之间的位置关系优秀教案内容

2.4等比数列教案（一）

陈必华

教学目标

（一）

知识与技能目标

1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式．

（二）

过程与能力目标

1.明确等比数列的定义；

2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道an，a1，q，n中的三个，求另一个的问题．

教学重点

1.等比数列概念的理解与掌握；

2.等比数列的通项公式的推导及应用．

教学难点

等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．

教学过程

一、情境导入： 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?（教材上的P48面）

1，2，4，8，16，…，2; ① 1，63111，，，…； ②

2481，20,202,203，…； ③ 1.0198,1.10982,1.10983...... ④

对于数列①，an=2≥2）．

n1 ; ana11 =2（n≥2）．对于数列②，

an=n1；n（n2an12an1an=20（n≥2）．

an1对于数列③，an=20n1 ; 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．

二、检查预习

1．等比数列的定义．

2. 等比数列的通项公式: ana1qn1(a1,q0)， anamqnm(am,q0)， anABn(A,B0)

3．｛an｝成等比数列an1q (nN,q0)

an4．求下面等比数列的第4项与第5项：

2132（1）5，－15，45，……；（2）1.2，2.4，4.8，……；（3）,.,;(4)2,1,，……. 3282三、合作探究

（1）等比数列中有为0的项吗？ （2）公比为1的数列是什么数列？

（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？

（4）常数列都是等比数列吗？

四交流展示

1．

等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），即：an=q（q≠0）

an1an1=q（nN，an注：(1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数q；

｛an｝成等比数列q≠0．）

(2) 隐含：任一项an0且q0

(3) q=1时，{an}为常数数列．

（4）．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

2.等比数列的通项公式1: ana1qn1(a1,q均不为0)

观察法：由等比数列的定义，有：a2a1q；

a3a2q(a1q)qa1q2； a4a3q(a1q2)qa1q3；…

…

…

…

…

…

… anan1qa1qn1(a1，q0)．

迭乘法：由等比数列的定义，有：aa2aaq；3q；4q；…；nq

a1a2a3an1

所以a2a3a4anqn1，即ana1qn1(a1，q0)

a1a2a3an1等比数列的通项公式2: anamqnm(am，q0)

五精讲精练

例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：1833a2a216q a23128,a128.

1222q3q33点评：考察等比数列项和通项公式的理解

变式训练一：教材第52页第1 例2．求下列各等比数列的通项公式：

(1) a12,a38; (2) a15,且2an13an

解：

(1)a3a1qq24q2 (2)qan(2)2n12n或an(2)(2)n1(2)n

an13an23又：a15an5()n1

2点评：求通项时，求首项和公比

变式训练二

：教材第52页第2 例3．教材P50面的例1。

例4．

已知无穷数列10,10,10,10 求证：（1）这个数列成等比数列；

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的051525n15,，

1；

10 （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中．

1证：（1）an10105（常数）∴该数列成等比数列．

n2n15an1105 （2）an1011n4101，即：anan5．

10an510105p15n15 （3）apaq1010q1510pq25，∵p,qN，∴pq2．

∴pq11且pq1N，

∴10pq251n510，（第pq1项）．

 变式训练三：教材第53页第3、4题．

六、课堂小结： 1.等比数列的定义；

2.等比数列的通项公式及变形式

七、板书设计

八、课后作业

阅读教材第48～50页；

2.4等比数列教案（二）

陈必华

教学目标

（一）

知识与技能目标

进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；

（二）

过程与能力目标

利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质

（三）

方法与价值观

培养学生应用意识．

教学重点，难点

（1）等比数列定义及通项公式的应用；

（2）灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题．

教学过程

二．问题情境

221．情境：在等比数列{an}中，（1）a5a1a9是否成立？a5a3a7是否成立？

2（2）anan2an2(n2)是否成立？

2．问题：由情境你能得到等比数列更一般的结论吗？

三．学生活动

22对于（1）∵a5a1q4，a9a1q8，∴a1a9a12q8(a1q4)2a5，a5a1a9成立．

2同理

：a5a3a7成立．

对于（2）ana1qn1，an2a1qn3，an2a1qn1，

22∴an2an2a1qn3a1qn1a12q2n2(a1qn1)2an，anan2an2(n2)成立．

一般地：若mnpq(m,n,q,pN)，则amanapaq．

四．建构数学

1．若{an}为等比数列，mnpq(m,n,q,pN)，则amanapaq．

由等比数列通项公式得：ama1qm1 , ana1qn1，apa1qp1 ,aqa1qq1，

故amana1qmn2且apaqa1qpq2，

∵mnpq，∴amanapaq．

amqmn．

ana由等比数列的通项公式知：，则mqmn

．

an五．数学运用

1．例题：

2例1．（1）在等比数列{an}中，是否有anan1an1（n2）？

222．若{an}为等比数列，则2

（2）在数列{an}中，对于任意的正整数n（n2），都有anan1an1，

那么数列{an}一定是等比数列．

解：（1）∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列{an}是等比数列，∴

an1an2，即anan1an1（n2）成立．

anan1（2）不一定．例如对于数列0,0,0,2，总有anan1an1，但这个数列不是等比数列．

例2．

已知{an}为GP，且a58,a72，该数列的各项都为正数，求{an}的通项公式。

21a解：设该数列的公比为q，由7q75得q2，又数列的各项都是正数，84a51故q，

211则an8()n5()n8

．

22例3．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。

a解：由题意可以设这三个数分别为,a,aq，得：

qaa3qaaq27

2122a(1q)91aa2a2q291q22q∴9q482q290，即得q29或q21，

91∴q3或q，

3故该三数为：1，3，9或1，3，9或9，3，1或9，3，1．

a说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为,a,aq．

q例4．

如图是一个边长为1的正三角形，将每边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图形（2），如此继续下去，得图形（3）……求第n个图形的边长和周长．

解：设第n个图形的边长为an，周长为cn．

1由题知，从第二个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形的边长的，∴31数列{an}是等比数列，首项为1，公比为．

31∴an()n1．

3要计算第n个图形的周长，只要计算第n个图形的边数．

第一个图形的边数为3，从第二个图形起，每一个图形的边数均为上一个图形的边数的4倍，

∴第n个图形的边数为34n1．

14cn()n1(34n1)3()n1．

33

2．练习：

1．已知{an}是等比数列且an0，a5a69，

则log3a1log3a2log3a10

．

2．已知{an}是等比数列，a4a7512，a3a8124，且公比为整数，则a10

．

3．已知在等比数列中，a34，a654，则a9

．

五．回顾小结：

1．等比数列的性质（要和等差数列的性质进行类比记忆）．

六．课外作业：书练习第1，2题，习题第6，8，9，10题．

七板书设计

§2.5.1等比数列的前n项和（1）教案

陈必华

教材分析：

本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。再者本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。

●教学目标

知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。

过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。

情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学习数学的热情和刻苦求是的精神。

●教学重点

等比数列的前n项和公式推导

●教学难点

灵活应用公式解决有关问题

学情分析：针对学生学习等差数列前n项和时的情况，一定在本节课的教学中加大思想方法的教学力度，突破错位相减思想理解困难。引导学生完成基本技能的训练。

●教学过程

一.课题导入

[创设情境] [提出问题]课本P62“国王对国际象棋的发明者的奖励”

二.讲授新课

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)Sn1Sn1q

②

1q

①

或

当q1时，当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, 公式的推导方法一：

一般地，设等比数列an时，用公式②. a1,a2a3,an它的前n项和是

Sna1a2a3an

Sna1a2a3anana1qn1由

2n2n1Sna1a1qa1qa1qa1q23n1nqSaqaqaqaqaqn11111得

(1q)Sna1a1qn

aanqa1(1qn)Sn1Sn1q

②

1q

①

或论同上）∴当q1时，当q=1时，Snna1

公式的推导方法二：

aa2a3nqaa2an1有等比数列的定义，1

a2a3anSa1nqaa2an1Snan根据等比的性质，有1

Sna1qSa(1q)Sna1anq（结

n即

n围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．

公式的推导方法三：

Sna1a2a3an＝a1q(a1a2a3an1)

a1qSn1＝a1q(Snan)

＝(1q)Sna1anq（结论同上）

[解决问题] 有了等比数列的前n项和公式，就可以解决刚才的问题。

由a11,q2,n64可得

a1(1qn)1(1264)Sn641q=12=21。

2641这个数很大，超过了1.8410。国王不能实现他的诺言。

三

例题讲解

例1．求下列等比数列的各项的和：

1911111,,,,27,9,3,（1）24816；

（2）,1.243

选题目的：直接应用公式，选择公式，熟练公式．

314921.16243答案：（1）；（2）

131aa.例2．已知公比为2的等比数列的前5项和为8，求这个数列的1及5

选题目的：逆向应用公式．

1a5.a2，8

答案：111,,1,例3．已知等比数列93选题目的：综合应用公式．

答案：使得，求使得Sn大于100的最小的n的值. Sn大于100的最小的n的值为7. n{a}S3a．当常数a满足什么条件时，{an}才是等比数例4．设数列n的前n项和为n列？

选题目的：沟通答案：a1

四．

反思总结，当堂检测。：课本66页练习

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

an与Sn的关系，灵活应用公式．

五．课后小结

等比数列求和公式：当q=1时，Snna1

当q1时，Sna1anq1q

或a1(1qn)Sn1q

六．

教学反思

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

●板书设计：略

2.5.2等比数列的前n项和(2)教案

陈必华

教材分析：本节知识是必修5第二章第5节的学习内容，是在学习完等差数列前n项和的基础上再次学习的一种求和的思想与方法。本节课的求和思想为一般的数列求和作了准备。

●教学目标

知识与技能：会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的Sn,an,a1,n,q中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力

过程与方法：通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 情感态度与价值观：通过公式推导的教学，对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度. ●教学重点

进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式

●教学难点

灵活使用公式解决问题

学情分析：在学生学习完等比数列的前n项和公式的基础上，进一步加强前n项和的应用.在实际问题的应用中需要教师的指导。特别是分类讨论思想的进一步应用。

●教学过程

一.课题导入

首先回忆一下前一节课所学主要内容：等比数列的前n项和公式：

aanqa1(1qn)Sn1Sn1q

②

1q

①

或当q1时，当q=1时，Snna1

当已知a1, q, n 时用公式①；当已知a1, q, an时，用公式②

二.讲授新课

1、等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别是Sn，S2n，S3n，

22SSn2nSn(S2nS3n)

求证：2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项和；

（

三．例题讲解

例1已知等比数列an中, S420,S81640,求S12. a1和q ？

如何求？

一定要求q吗？(基本量的确定) 设问1:能否根据条件求设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列？

(探究等比数列内在的联系) 设问3:若题变: 数列an是等比数列,且Sna,S2nb,(ab0)求S3n

S2nSnbabaa2abb2nnq,S3nS2n(S2nSn)qb(ba)Snaaa

nanSqn引导学生归纳:若是等比数列,公比为q,则每隔n项的和组成一个首项为,公比为的等比数列.(学生类比等差数列相关结论) [说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量a1,q然后再求和，其次分析题目的特点、内在结构,探索规律,并从特殊向一般推广，注意培养学生思维的严谨性. 例2．某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先1支付货款的3，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5% 到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？

假设货主每月还商店a元，写出在第i(i=1,2,36)个月末还款后，货主对商店欠款数的表达式. 每月的还款额为多少元（精确到0.01）？

引导学生,认真阅读题目,理解题意, 月底等额还款,即每月末还款数一样，

月底还款后的欠款数yi与第i-1个月底还款后的欠款数yi1的关系是第yiyi1(10.05%)a,(学生分析) 三年内还清转化为数学语言是: y360

22解(1)因为购买电脑时,货主欠商店3的货款,即60003=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.

(2)设第i个月底还款后的欠款数为yi,则有

y1=4000(1+0.5%)-a

y2=y1(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a

2

y3=y2(1+0.5%)-a

y3=y2(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a(1+0.5%)-a

32



yi=yi1(1+0.5%)-a=4000(1+0.5%)-a(1+0.5%)ii1

-a(1+0.5%)

整理得

i2-

-a, (10.5%)i1aii0.5%

y

=4000(1+0.5%)-.(i=1,2,,36)

(3)因为y36=0,所以

(10.5%)361a360.5%

4000(1+0.5%)-=0

即每月还款数

4000(10.5%)360.5%121.6936(10.5%)1

a=(元)

所以每月的款额为121.69元. [说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键

词:”等额还款”,”月利率”,”第i个月末还款后欠款表达式”等; 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题得到尽可能圆满的解答. 1112nyyy例3.求Sn=(x+)+(x2+)+…+(xn+)(y0)。

解：当x1,y1时，

11(1)nnx(1x)yxxn11ynynn111111x1xyy1yyn)=ySn=(x+x2+…+xn)+(y+2

1ynnn1yy当x=1,y1时

Sn=n+

xxn1n当x1,y=1时

Sn=1x

当x=y=1时

Sn=2n

四

反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测：

1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额a将是多少? 1

2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的3,其余款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元) 数学建模的方法；

关注学生解题的规范性,准确度及速度.

五.课后小结

(引导学生归纳,教师提炼) (1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题; (2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.

六．教学反思

：

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

板书：略

课 题：数列复习小结

陈必华

教学目的：

1．系统掌握数列的有关概念和公式。

2．了解数列的通项公式an与前n项和公式Sn的关系。

3．能通过前n项和公式Sn求出数列的通项公式an。

授课类型：复习课

课时安排：2课时

教学过程：

一、本章知识结构

二、知识纲要

(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．

(2)等差、等比数列的定义．

(3)等差、等比数列的通项公式．

(4)等差中项、等比中项．

(5)等差、等比数列的前n项和公式及其推导方法．

三、方法总结

1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．

2．等差、等比数列中，a1、an、n、d(q)、Sn

“知三求二”，体现了方程(组)的思想、

整体思想，有时用到换元法．

3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．

4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．

四、知识精要：

1、数列

[数列的通项公式] an

2、等差数列

[等差数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

[等差数列的判定方法]

1．

定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。 2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。

[等差数列的通项公式]

如果等差数列an的首项是a1，公差是d，则等差数列的通项为ana1(n1)d。

[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。

[等差数列的前n项和] 1．Snn(a1an)n(n1)d

2. Snna122a1S1(n1) [数列的前n项和]

Sna1a2a3an

SS(n2)n1n[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。

[等差中项] 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：Aab或2A2ab

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

[等差数列的性质]

1．等差数列任意两项间的关系：如果an是等差数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公差为d，则有anam(nm)d

2．

对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq。

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

，如图所示：1a2an1*3．若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k也就是：a1ana2an1a3an2成等差数列。如下图所示：

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

SkS2kSkS3kS2k

3、等比数列

[等比数列的概念] [定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）。

[等比中项] 如果在a与b之间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么[等比数列的判定方法] 1．

定义法：对于数列an，若an1q(q0)，则数列an2Gb2，即GaGab。

an是等比数列。 2．等比中项：对于数列an，若anan2an1，则数列an是等比数列。

[等比数列的通项公式] 如果等比数列an的首项是a1，公比是q，则等比数列的通项为ana1q[等比数列的前n项和] n1。

aanqa1(1qn)(q1) ○1Sn2Sn13当q(q1) ○○1q1q1时，Snna1

[等比数列的性质] 1．等比数列任意两项间的关系：如果an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，公比为q，则有anamqnm

3．

对于等比数列an，若nmuv，则anamauav

a1ana,a2,a3,,an2,an1,an

。如图所示：1a2an1也就是：a1ana2an1a3an24．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。如下图所示：

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

SkS2kSkS3kS2k

4、数列前n项和

（1）重要公式：

123nn(n1)；

2n(n1)(2n1)；

6122232n211323n3[n(n1)]2

2（2）等差数列中，SmnSmSnmnd

（3）等比数列中，SmnSnqnSmSmqmSn

（4）裂项求和：

111；（nn!(n1)!n!）

n(n1)nn1