4.5 反函数的概念名师教学实录

4.5反函数的概念

【教学目标】

1．了解反函数的概念，理解反函数与原函数之间的关系；

2．会求一些简单函数的反函数，归纳求反函数的一般步骤；

3．在探究反函数的过程中，逐步生成和完善概念，体会由特殊到一般的数学思想；

4．用辩证的观点分析问题，发展思维的深刻性，培养逆向思维的能力．

【教学重点】反函数的概念．

【教学难点】反函数的概念．

【教材】上海教育出版社高中一年级第二学期P12-16．

【教学过程】

一．情景引入

a0，说明体积V是关于棱长a的函数．回顾函数的概念，指出a也可以是V的函数，a3VV0．对两个函数关系的研究将引出新知识的学习：反函

由正方体的体积公式：Va3数的概念．

二、概念生成

借助具体模型生成、完善并严格定义反函数：

a0到一般函数yfxxD；

2．由具体反函数a3VV0到一般情况下，用y来表示x；

13．研究原函数yfxxD的逆运算．由原函数的对应法则f对应用f，读作“f逆”；1记函数为xfy；

1．由具体函数Va34．讨论反函数的存在性．判断原函数是否能满足“对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应；

5．分析反函数的定义域，得到反函数的严格定义：

一般地，对于函数yfx，设它的定义域为D，值域为A．如果对于A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足yfx，这样得到的x关于y的函数叫做yfx的反函数，记作xf1y．在习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为yf1xxA．

三、概念辨析

逐句辩析概念，深刻理解概念．

1．分析反函数的前提：原函数；

2．分析反函数存在的条件：唯一性；

讨论判断反函数是否存在的方法：

代数方法：关于x的方程yfx有且只有一个实数解；

几何方法：作一条平行于x轴的直线，与函数图像至多有一个交点；

预案：函数单调性．

例1 下列各图中，能成为某个具有反函数的函数yfx的图像是（

）.

1

例2 判断下列函数是否存在反函数：

2

2（1）y4x2；

（2）yx；

（3）yx3．分析xf1x0；

（4）yx2x0

（1）用y表示x；（2）与原函数对应；（3）原函数对应法则的逆y的含义：向运算．

4．分析原函数和反函数中的x和y的关系；

11yfxxfyyfx

5．分析反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．

6．分析在习惯上自变量与因变量的表示方式，函数yfx与函数yf四、函数研究

基于反函数也是函数，利用研究函数的方式研究反函数．

1．研究解析式和定义域

例3．求下列函数的反函数：

（1）y4x2；（2）yx21

x互为反函数．（3）yx0；3x11xR且x

4x22回到定义寻找解题思路，归纳解题步骤：

（1）存在原函数；

（2）判断是否存在反函数；

（3）用y表示x；

（4）将x与y互换；

（5）求出反函数的定义域．提醒学生：函数的定义域是函数的一部分．

2．探索反函数的图像

由具体函数yx2x0及其反函数的大致图像，观察、发现、归纳、验证一般函数yfx(xD)和它的反函数yf1xxA图像间的关系．明确这是一个可以严格证明的结论．

五、课堂小结

六、课后作业

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