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关键词：1.1.1 四种命题优质课教学设计

正文

第2课

四种命题和充要条件

【自主学习】

第2课

四种命题和充要条件

(本课对应学生用书第45页)

自主学习

回归教材

1.记“若p则q”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p”，逆否命题为“若非q则非p”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数.

2.(1)若pq，但q/

p，则p是q的充分不必要条件；

(2)若p/

q，但qp，则p是q的必要不充分条件；

(3)若pq，且qp，即pq，则p是q的充要条件；

(4)若p/

q，且q/

p，则p是q的既不充分也不必要条件.

3.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).

1.(选修2-1P6例2改编)将命题“斜率相等的两直线平行”改为“若p则q”的形式为：

；它的逆否命题是

. 【答案】若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行

若两条直线不平行，则这两条直线的斜率不相等

2.(选修2-1P21复习题1改编)判断下列命题的真假. (1)命题“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”的否命题为

命题. (2)命题“若ab=0，则b=0”的逆否命题为

命题. 【答案】(1)真

(2)假

3.(选修2-1P21复习题3改编)已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的

条件，p是q的

条件. 【答案】充要

必要

【解析】因为rq，且qsr，所以r是q的充要条件.因为qsrp，所以p是q的必要条件.

4.(选修1-1P11习题2改编)“x<0”是“ln(x+1)<0”的

条件. 【答案】必要不充分

【解析】因为ln(x+1)<0，所以ln(x+1)

5.(选修2-1P9习题4改编)设p：-1≤4x-3≤1，q：x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围为

. 10，【答案】2

【解析】由题意知p是q的充分不必要条件. 1，12因为p：x∈，q：x∈[a，a+1]，

1，1所以2[a，a+1]，

1a，21a11，所以且两个等号不同时成立，解得0≤a≤2，

10，所以实数a的取值范围为2.

【要点导学】

要点导学

各个击破

命题的真假判定

(2014·陕西卷)设原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于它的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下：

①真、假、真；

②假、假、真；

③真、真、假；

④假、假、假. 其中正确的是

.(填序号) 【答案】②

【解析】设复数z1=a+bi，z2=z1=a-bi，

22ab所以|z1|=|z2|=，故原命题为真.

逆命题：若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数，是假命题，如z1=3+4i，z2=4+3i，|z1|=|z2|=5，但此时z1，z2不互为共轭复数. 否命题：若z1，z2不互为共轭复数，则|z1|≠|z2|，是假命题，如z1=3+4i，z2=4+3i，此时|z1|=|z2|=5. 逆否命题和原命题的真假相同，所以逆否命题为真.

给出下列四个结论：

π2x3的最小正周期为π；

①函数y=sin②“(x-3)(x-4)=0”是“x-3=0”的充分不必要条件；

③命题“若m>0，则方程x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“若方程x2+x-m=0没有实数根，则m≤0”；

11④若a>0，b>0，a+b=4，则a+b的最小值为1. 其中正确结论的个数为

. 【答案】3 2π【解析】①因为T=2=π，所以①正确；②因为(x-3)(x-4)=0x=3或x=4，x=3(x-3)(x-4)=0，所以“(x-3)(x-4)=0”是“x-3=0”的必要不充分条件，所以②错误；11③由逆否命题的定义知③正确；④因为a>0，b>0，a+b=4，所以a+b=ab4ba111ba1·ab4a4b=1，当且仅当a=b=2时取等号，所以④=2+4a+4b≥2+2·正确.

下列说法正确的是

.(填序号) ①命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；

②“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件；

③命题“存在x∈R，使得x2+x+1=0”的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1<0”；

④命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题. 【答案】④

【解析】①否命题既要否定结论也要否定条件，故①错误；②由x=-1能得出x2-5x-6=0，但当x2-5x-6=0时，x=-1或x=6，所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件，故②错误；③命题的否定是“对任意的x∈R，均有x2+x+1≠0”，故③错误；④因为逆否命题与原命题同真假，故④正确.

四种命题及其相互关系

命题“若a2+b2=0，则a=0且b=0”的逆否命题是

. 【答案】若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0

【解析】逆否命题是将原命题的条件否定后变为结论，结论否定后变为条件，“且”的否定是“或”.

写出“有一组对边平行且相等的四边形是菱形”的逆命题、否命题和逆否命题. 【解答】将原命题改写成“若一个四边形有一组对边平行且相等，则这个四边形是菱形”. 逆命题：若一个四边形是菱形，则这个四边形有一组对边平行且相等. 否命题：若一个四边形有一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是菱形. 逆否命题：若一个四边形不是菱形，则这个四边形有一组对边不平行或不相等.

充要条件的判定与证明

(2015·山西山大附中)“a=2”是“函数f(x)=x2+ax+1在区间[-1，+∞)上为增函数”的

条件. 【答案】充分不必要

【解析】当a=2时，函数f(x)=x2+2x+1在区间[-1，+∞)上为增函数，充分性成立；当函数f(x)=x2+ax+1在区间[-1，+∞)上为增函数时，因为函数f(x)的增区间为aa-，2，所以-2≤-1，所以a≥2，必要性不成立.故“a=2”是“函数f(x)=x2+ax+1在区间[-1，+∞)上为增函数”的充分不必要条件.

结合充要条件确定参数

x20，}x|x-100

已知p：，q：{x|1-m≤x≤1+m，m>0}.若m=1，则p是q的

条件. 【答案】必要不充分

x【解析】因为p：x20，x-100=x-2x10}，

q：{x|1-m≤x≤1+m，m>0}={x|0≤x≤2}，

显然{x|0≤x≤2}{x|-2≤x≤10}，

所以p是q的必要不充分条件.

1.(2015·安徽卷)设p：x<3，q：-1

条件. 【答案】必要不充分

【解析】因为p：x<3，q：-1

q，所以p是q的必要不充分条件.

1x22.已知条件p：2≥，条件q：x2≥-x，那么p是q的

条件. x【答案】充分不必要

【解析】由题意知，p：x≥0，q：x≤-1或x≥0，所以p是q的充分不必要条件.

3.(2015·湖北卷改编)已知l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则p是q的

条件. 【答案】充分不必要

【解析】由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以pq；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1∥l2，所以q/

p.所以p是q的充分不必要条件.

4.已知命题“若a<0，则一元二次方程x2+x+a=0有实根”，那么原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是

. 【答案】2 【解析】原命题为“若a<0，则方程x2+x+a=0有实根”，因为方程的判别式Δ=1-4a，当a<0时，Δ>0，所以方程x2+x+a=0有实根，故命题为真；根据原命题与逆否命题真假一致，可知逆否命题为真；逆命题为“若方程x2+x+a=0有实根，则a<0”，因为1方程有实根，所以判别式Δ=1-4a≥0，所以a≤4，显然a<0不一定成立，故逆命题为假；根据否命题与逆命题的真假一致，可知否命题为假.故真命题有2个.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第34页.

【检测与评估】

第2课

四种命题和充要条件

一、

填空题

1．命题“若函数f(x)=logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是

2．(2015·重庆卷)“x=1”是“x2-2x+1=0”的