3.1.1 空间向量及其线性运算教学设计实例

第3章空间向量与立体几何

§3.1空间向量及其运算

3.1.1

空间向量及其线性运算

课时目标

1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．

1．空间向量中的基本概念

(1)空间向量：在空间，我们把既有________又有________的量，叫做空间向量．

(2)相等向量：________相同且________相等的有向线段都表示同一向量或者相等向量．

(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线______________或________，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．

2．空间向量的线性运算及运算律

类似于平面向量，我们可以定义空间向量的加法和减法运算及数乘运算：

→→→OB＝OA＋AB＝________，

→→→CA＝OA－OC＝________，

→OP＝λa (λ∈R)．

空间向量加法的运算律

(1)交换律：______________. (2)结合律：(a＋b)＋c＝____________. (3)λ(a＋b)＝λa＋λb (λ∈R)．

3．共线向量定理：对空间任意两个向量a，b

(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使__________．

规定：零向量与任意向量共线．

一、填空题

1．判断下列各命题的真假：

→→①向量AB的长度与向量BA的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．

其中假命题的个数为________．

→→→→→→2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则下列叙述正确的是________．(写出所有正确的序号) →→→①AB＝AC＋BC；

→→→②AB＝－AC－BC；

→→③AC与BC同向；

→→④AC与CB同向．

→→→3.在正方体ABCD-A1B1C1D中，向量表达式DD1－AB＋BC化简后的结果是________．

→→→4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中，用向量AB，AD，AA1来表示向量AC1的表达式为________________________________________________________________________．

→1→→5.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB＋(BD＋BC)化简的结果是________．

26．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，下列结论中正确的有________．(写出所有正确的序号) →→→→①＋GH＋PQ＝0；②－GH－PQ＝0；

EFEFEF→→→→③＋GH－PQ＝0；④－GH＋PQ＝0. EF→→→→7.如图所示，a,b是两个空间向量，则AC与A′C′是________向量，AB与B′A′是________向量．

→→→→8.在正方体ABCD-A1B1C1D中，化简向量表达式AB＋CD＋BC＋DA的结果为________．

二、解答题

9．如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB→→→→→→的中点，请化简(1)AB＋BC＋CD，(2)AB＋GD＋EC，并标出化简结果的向量．

10．设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．

→1→→→求证：AG＝(AB＋AC＋AD)．

3

能力提升

11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线→→→与CD交于点F.若AC＝a，BD＝b，则AF＝______________________. 12．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．

1．在掌握向量加减法的同时，应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．

2．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a、b，若存在惟一实数λ，使b＝λa (a≠0)⇒a∥b，可作为以后证明线线平行的依据，但必须保证两线不重合．

再者向量共线不具有传递性，如a∥b，b∥c，不一定有a∥c，因为当b＝0时，虽然a∥b，b∥c，但a不一定与c平行．

3．运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．