2.2.2 椭圆的几何性质教学目标设计

椭圆

椭圆的简单几何性质

一、教学目标

了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．

二、教学过程

（1）复习与引入

引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．

（2）新课讲授

（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．

提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？

通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）椭圆的简单几何性质

y2x2

①范围：由椭圆的标准方程可得，2120，进一步得：axa，同理ba可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；

②对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；

③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率：

椭圆的焦距与长轴长的比ec叫做椭圆的离心率（0e1），a当e1时，ca，，b0当e0时，c0，ba；

．

椭圆图形越扁椭圆越接近于圆（iii）例题讲解与引申、扩展

例4 求椭圆16x25y400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．

扩展：已知椭圆mx5y5mm0的离心率为e222210，5

求m的值．

解法剖析：依题意，m0,m5，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x轴上，即0m5时，有a5,b∴m,c5m，5m525，得m3；②当焦点在y轴上，即m5时，有am,b5,cm，5∴m5m1025m．

53例5 ，如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知BCF1F2，F1B2.8cm，F1F24.5cm．建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．

x2y2解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为221，算出a,b,c的ab值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．

引申：如图所示，

“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R6371km．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．

例6如图，设Mx,y与定点F4,0的距离和它到直线l：x25的距离的比是常数44，求点M的轨迹方程．

5分析：若设点Mx,y，则MF线l：xx4y2，到直22525的距离dx，则容易得点M的轨迹方程．

44a2x引申：（用《几何画板》探究）若点Mx,y与定点Fc,0的距离和它到定直线l：c的距离比是常数ecac0，则点M的轨迹方程是椭圆．其中定点Fc,0是焦点，a

a2定直线l：x相应于F的准线；由椭圆的对称性，另一焦点Fc,0，相应于F的ca2准线l：x．

c