正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系板书设计及设计说明

24.3 正多边形和圆

教学内容

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．

2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．

3．正多边形的画法．

教学目标

了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．

复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容．

重难点、关键

1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系．

2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．

教学过程

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF，连结AD、CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么肯定B、C、•D、E、F都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF 11BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC 2211 ∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD 22 又∴∠A= ∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A

又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径ED是a，•求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是O外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应CF连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM•中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

AMB 解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于360=60°，•△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

611AB=a 22 因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM中，OA=a，AM= 利用勾股定理，可得边心距

OM=a(a)=2122123a 1133×AB×OM=6××a×a=2222 ∴所求正六边形的面积=6×3a2 现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．

例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=如图，∠AOC=30°，OA=360=72°，

51AB÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm）

2

画法（1）以O为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

（2）在⊙O上顺次截取边长为3cm的AB、BC、CD、DE、EA．

（3）分别连结AB、BC、CD、DE、EA．

则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图所示．

三、巩固练习

教材P108 习题1、2、3、4；综合运用5、6、7 四、应用拓展

例3．在直径为AB的半圆内，划出一块三角形区域，如图所示，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC•的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如图24-94的设计方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的边AB上的高h．

（2）设DN=x，且hDNNF，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

hAB（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．

CNhADGE

分析：要求矩形的面积最大，先要列出面积表达式，再考虑最值的求法，初中阶段，尤其现学的知识，应用配方法求最值．（3）的设计要有新意，•应用圆的对称性就能圆满解决此题．

解：（1）由AB·CG=AC·BC得h= （2）∵h=FBACBC86=4.8 AB10hDNNF且DN=x hAB10(4.8x) ∴NF=

4.810252 则S四边形DEFN=x·（4.8-x）=-x+10x 4.812252120 =-（x-x）

2512256023600 =- [（x-）-] 6251225252 =-（x-2.4）+12 x252 ∵-（x-2.4）≤0 x252 ∴-（x-2.4）+12≤12 且当x=2.4时，取等号

x ∴当x=2.4时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3．

∴BE=DEEF32.4=1.8 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案．

2222

∵当x=2.4时，DE=5 ∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示: CGAFBDEwww.czsx.com.c

此时，•AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

五、归纳小结（学生小结，老师点评）

本节课应掌握：

1．正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系．

3．画正多边形的方法．

4．运用以上的知识解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P117 复习巩固1 综合运用5、7 P118 8．

2．选用课时作业设计．

课时作业设计

一、选择题

1．如图1所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

(1) (2) (3) 2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（ ）．

A．36° B．60° C．72° D．108°

3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（ ）

A．18° B．36° C．72° D．144°

二、填空题

1．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图2所示，若AC=6，则AD的长为________．

3．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图3所示，AB∥CD，且CD为直径，•如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；

∠BOC的度数是________．

三、综合提高题

1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

3．如图所示，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M．

（1）求证：四边形CDEM是菱形；

（2）设MF2=BE·BM，若AB=4，求BE的长．