正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教学设计(教案)

24.3

正多边形和圆

一、基本目标

【知识与技能】

1．经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．

2．理解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正n边形．

3．理解并掌握正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系，并解决正多边形与圆有关的计算问题．

【过程与方法】

1．结合生活中正多边形的图案，发现正多边形和圆的关系，学会用圆的有关知识解决相应的计算问题，从而丰富对正多边形的认识．

2．学会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展实践能力和创新精神．

【情感态度与价值观】

1．通过正多边形与圆的关系定理的教学，培养学生观察、猜想、推理、迁移能力．

2．通过等分圆周构造正多边形的实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心．

二、重难点目标

【教学重点】

正多边形的半径、中心角、边心距、边长的概念，用量角器等分圆．

【教学难点】

正多边形与圆的有关计算，用尺规作图作圆内接正方形和正六边形．

环节1

自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P105～P107的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．__各边__相等，__各角__也相等的多边形叫做正多边形．

2．一个正多边形的外接圆的__圆心__叫做这个正多边形的中心；外接圆的__半径__叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的__圆心角__叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__距离__叫做正多边形的边心距．

3. 画正n边形只需先画一个圆，然后把圆__n等分__，依次连接各分点，即可得圆的__内接__正n边形，这个圆就是这个正多边形的__外接__圆．

4．把一个圆分成n等份，连接各点所得到的多边形是__正多边形__，它的中心角等于__360°__. 5．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为__6__. 6．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为__4__. 7．已知正六边形的外接圆半径为3 cm，那么它的周长为__18__cm. 8．你能用尺规作出正六边形吗？

解：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连结各等分点，则可作出正六边形．

环节2

合作探究，解决问题

【活动1】

小组讨论(师生互学) 【例1】如图，已知正六边形ABCDEF，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

【互动探索】(引发学生思考)(1)要求正六边形的周长，需要知道正六边形的边长．(2)要求正六边形的面积，不能直接求解，则需要通过做辅助线，将其转化为求几个三角形的面积和，那么应该怎么做辅助线呢？

【解答】连结OA、OB，过点O作OM⊥AB于点M. ∵ABCDEF是正六边形，

360°∴∠AOB＝＝60°，

6∴△OAB是等边三角形，

∴正六边形ABCDEF的周长为6a. 11在Rt△OAM中，OA＝a，AM＝AB＝a，

22利用勾股定理，可得边心距OM＝a23aa2－＝，

2211333a2∴正六边形ABCDEF的面积＝6×AB×OM＝6×a×a＝. 2222【互动总结】(学生总结，老师点评)解决与正多边形有关的问题，通常转化为由正多边形的半径、边心距及边长的一半组成的直角三角形的计算问题．

【例2】已知⊙O

的半径为

2 cm，画圆的内接正三角形．

【互动探索】(引发学生思考)画正多边形有两类工具：量角器和尺规．(1)正三角形需要

把圆三等分，所以它的中心角为120度，可以用量角器直接量出．(2)用尺规可以作出正六边形，那么用尺规可以作出正三角形吗？

【解答】(方法一)任取一点A，连接OA，用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO＝∠CAO＝30°，点B、C在圆周上，连接A、B、C三点，可得△ABC.

(方法二)用量角器度量，使∠AOB＝∠AOC＝120°，连接A、B、C三点，可得△ABC.

(方法三)用圆规在⊙O

上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，任意顺次连接不相邻的三个点，如点A、C、E，则△ACE即为所求的三角形．

(方法四)在圆上任取一条直径AD，以D为圆心，2 cm为半径画弧，交⊙O于B、C两点，连接A、B、C三点，可得△ABC.

【互动总结】(学生总结，老师点评)作圆内接正三角形的方法有很多种，还可以用量角器和尺规作图两者相结合的方法，如用量角器画圆心角∠BOC＝120°，OB、OC分别交⊙O于B、C两点，再在⊙O上用圆规截取AC＝BC，连接A、B、C三点，可得△ABC. 【活动2】

巩固练习(学生独学) 1．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是(

C

)

A．60°

C．30°

B．45°

D．22.5°

2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是(

C

)

A．36°

C．72°

B．60°

D．108°

3．下列用尺规等分圆周说法正确的个数有(

A

) ①在圆上依次截取等于半径的弦，就可以六等分圆；

②作相互垂直的两条直径，就可以四等分圆；

③按①的方法将圆六等分，六个等分点中三个不相邻的点三等分圆；

④按②的方法将圆四等分，再平分四条弧，就可以八等分圆．

A．4个

C．2个

4．正八边形共有__8__条对称轴．

5．正n边形的一个外角的度数与它的中心角的度数__相等__. 6．观察下面的图形，说一说是怎么画出来的？

B．3个

D．1个

解：先画一个O为圆心，OA长为半径的圆，取圆的三等分点，分别以三等分点为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于A、B、C三点，即得该图形．

【活动3】

拓展延伸(学生对学) 【例3】如图，点G、H分别是正六边形ABCDEF的边BC、CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P.求∠APH的度数．

【互动探索】(引发学生思考)要求∠APH的度数，结合图形特点，需要将其转化为求其他角的度数．根据正六边形的性质能得到AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，由得出的等边、等角及BG＝CH所在的三角形，那么可以转化成求哪个角的度数，即可求得∠APH的度数？

【解答】∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，

又BG＝CH，

∴△ABG≌△BCH，

∴∠BAG＝∠HBC. ∵∠BAG＋∠ABP＝∠HBC＋∠ABP，

∴∠APH＝∠ABC＝120°. 【互动总结】(学生总结，老师点评)本题从问题本身出发，不容易得到解决问题的方法，

则需要将所求问题结合已知条件进行等价转化．结合已知条件和正六边形的性质，很容易得到两个三角形全等，利用三角形的外角可求得∠APH的度数．

环节3

课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评) 正多边形的相关概念：

(1)中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．

(2)半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．

(3)中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

(4)边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

请完成本课时对应练习！

布置作业

习题24.3

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