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第二十二章质量评估试卷

一、选择题(每小题3分，共30分) [学生活页P99] [时间：90分钟

分值：120分] 1．[2016·南充]抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是(

B

) A．x＝1

B．x＝－1 C．x＝－2

D．x＝2 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1所示，则函数值y>0时，x的取值范围是(

D

)

图1 A．x<－1

B．x>3 C．－1

D．x<－1或x>3 3．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的函数是(

A

) A．y＝－3x

B．y＝4x

C．y＝－3x2＋3

D．y＝－x2

4．[2016·益阳]关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是(

D

) A．开口向上

B．与x轴有一个交点

C．对称轴是x＝1 D．当x>1时，y随x的增大而减小

5．如图2是反映铅球运动员掷铅球的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)125之间的函数关系的图象，其函数解析式为y＝－12x2＋3x＋3，则该运动员此次掷铅球的成绩是(

D

) A．6 m

B．12 m C．8 m

D．10 m 125【解析】

令y＝0，得－12x2＋3x＋3＝0，

解得x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去)．故选D.

图2

图3

6．二次函数y＝－x2＋4x＋k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程－x2＋4x＋k＝0的一个解x1＝5，另一个解x2等于(

B

) A．1

B．－1 C．－2

D．0 7．[2016·兰州]点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(

D

) A．y3>y2＝y1

B．y3>y1＝y2

C．y1>y2>y3

D．y1＝y2>y3

8．[2016·株洲]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象经过点A(－1，2)，B(2，5)，顶点坐标为(m，n)，则下说法错误的是(

B

) 1A．c<3

B．m≤2

C．n≤2

D．b<1 9．抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象正确的是(

D

)

【解析】

A．由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y＝ax＋b经过第二、四象限，故A可排除；

B．由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a，b异号，b＞0，此时直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，故B可排除；

C．由二次函数的图象可知a＞0，此时直线y＝ax＋b经过第一、三象限，故C可排除．故选D. 10．[2016·达州]如图4，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为x＝1.下列结论：

图4 ①abc＞0；

②4a＋2b＋c＞0；

③4ac－b2＜8a；

12④＜a＜；

33⑤b＞c. 其中含所有正确结论的选项是(

D

) A．①③

B．①③④

C．②④⑤

D．①③④⑤

【解析】

①∵函数开口方向向上，∴a＞0；

∵对称轴在原点右侧∴ab异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，

∴abc＞0，故①正确；

②∵图象与x轴交于点A(－1，0)，对称轴为x＝1，

∴图象与x轴的另一个交点为(3，0)，

∴当x＝2时，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0，故②错误；

③∵图象与x轴交于点A(－1，0)，

∴当x＝－1时，y＝(－1)2×a＋b×(－1)＋c＝0，

∴a－b＋c＝0，即a＝b－c，c＝b－a，

∵对称轴为x＝1，

b∴－2a＝1，即b＝－2a，

∴c＝b－a＝(－2a)－a＝－3a，

∴4ac－b2＝4·a·(－3a)－(－2a)2＝－16a2＜0，

∵8a＞0，∴4ac－b2＜8a，故③正确；

④∵图象与y轴的交点B在(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c＜－1，

21∴－2＜－3a＜－1，∴＞a＞，故④正确；

33⑤∵a＞0，∴b－c＞0，即b＞c，故⑤正确．

综上所述，①②③④⑤正确．故选D.

二、填空题(每小题4分，共24分) 11．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为__(3，－4)__．

12．抛物线y＝2(x＋1)2是由抛物线y＝2x2向__左__平移__1__个单位得到的．

13．[2016·宁夏]若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是__m＜1__．

【解析】

∵二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，

∴Δ＞0，

∴4－4m＞0，

∴m＜1.

14．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图128放在平面直角坐标系中如图5所示，则抛物线的解析式是

y＝－25x＋5x

.

图5 【解析】

抛物线的顶点为(20，16)，且过点(0，0)，

设抛物线的解析式为y＝a(x－20)2＋16(a≠0)，

1把(0，0)代入，得a×400＋16＝0，a＝－25.

118∴y＝－25(x－20)2＋16，即y＝－25x2＋5x. 15．[2016·大连]如图6，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是__(－2，0)__．

图6 m【解析】

由C(0，c)，D(m，c)，得函数图象的对称轴是x＝2，

m设A点坐标为(x，0)，由A，B关于对称轴x＝2对称，得

x＋m＋2m＝2，解得x＝－2，

2∴A点坐标为(－2，0)．

16．[2016·梅州]如图7，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为__(1＋2，2)或(1－2，2)__．

图7

第16题答图

【解析】

如答图，过点P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，

∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，

∴点P在线段CD的垂直平分线l上，

∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，

∴C(0，3)，且D(0，1)，

∴E点坐标为(0，2)，

∴P点纵坐标为2，

在y＝－x2＋2x＋3中，令y＝2，可得－x2＋2x＋3＝2，解得x＝1±2，

∴P点坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)．

三、解答题(共66分) 17．(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

(1)y＝x2－3x－4；(2)y＝－4x2＋3x. 33225解：(1)y＝x－3x－4＝x－2－4，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为22532，－4；

3329(2)y＝－4x＋3x＝－4x－8＋16，开口向下，对称轴为x＝8，顶点坐标为2398，16. 18．(8分)已知二次函数的图象经过点A(0，－3)，且顶点P的坐标为(1，－4)．

(1)求这个函数的解析式；

(2)在平面直角坐标系中，画出它的图象．

第18题答图

解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4(a≠0)，将点A(0，－3)代入，得－3＝a×(0－1)2－4，解得a＝1，

∴y＝(x－1)2－4，即

y＝x2－2x－3；

(2)图象如答图所示．

19．(10分)如图8，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)和B(3，0)两点，且交y轴于点C. (1)试确定b，c的值；

(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．

图8 0＝1－b＋c，解：(1)将A，B两点坐标代入二次函数的解析式，得

0＝9＋3b＋c，解得b＝－2，c＝－3；

(2)由(1)，得二次函数的解析式为y＝x2－2x－3，

配方，得y＝x2－2x＋1－4＝(x－1)2－4，

∴抛物线的顶点M的坐标为(1，－4)．

令x＝0，得y＝－3，∴C(0，－3)．

由抛物线的对称性，可得D(2，－3)，

∴CD＝2，CM＝DM＝2.

又∵CM2＋DM2＝CD2，

∴△MCD是等腰直角三角形．

20．(10分)[2016·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(单位：元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：

当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元．

(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元(注：净收入＝租车收入－管理费)? (2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？

解：(1)根据题意知，若观光车能全部租出，则0

由50x－1 100＞0，

解得x＞22，

∵x是5的倍数，

∴每辆车的日租金至少为25元；

(2)设每天的净收入为y元，

①当0

∵y1随x的增大而增大，

∴当x＝100时，y1的最大值为50×100－1 100＝3 900；

2x－100121x－1 100＝－x＋70x－1 100＝－(x－175)②当x＞100时，y2＝50－555＋5 025.

当x＝175时，y2的最大值是5 025，∵5 025＞3 900，

∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5 025元．

21．(10分)如图9，直线l经过A(3，0)，B(0，3)两点，且与二次函数y＝x2＋1的图象在第一象限内相交于点C.求：

(1)△AOC的面积；

(2)二次函数图象的顶点D与点A，B组成的三角形的面积．

图9 解：(1)设过A，B两点的一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，

3k＋b＝0，k＝－1，则解得

b＝3，b＝3，∴y＝－x＋3.

y＝－x＋3，由

2y＝x＋1，x＝－2，x＝1，得或

y＝5y＝2.又∵点C在第一象限内，∴C(1，2)，

11∴S△AOC＝2×OA×2＝2×3×2＝3；

(2)∵二次函数的顶点坐标为D(0，1)，

11∴S△ABD＝2BD·OA＝2×(3－1)×3＝3. 22．(10分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12 m，抛物线拱高为5.6 m．

(1)在如图10所示的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式；

(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5 m，高1.6 m，相邻窗户之间的间距均为0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8 m．请计算最多可安装几扇这样的窗户．

图10 解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)．

∵点B(6，－5.6)在抛物线上，

7∴－5.6＝36a，解得a＝－45，

7∴抛物线的解析式为y＝－45x2；

(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为(k，t)．

∵窗户高1.6 m，∴t＝－5.6＋1.6＝－4，

72∴－4＝－45k，

解得k1≈5.07，k2≈－5.07，

∴CD＝|k|×2＝10.14(m)．

又设最多可安装n扇窗户，则1.5n＋0.8(n＋1)≤10.14，

解得n≤4.06.∵n为正整数，∴n取4.

∴最多可安装4扇这样的窗户．

23．(10分)[2016·大庆]若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1＝－2x2＋4x＋2与C2：y2＝－x2＋mx＋n为“友好抛物线”．

(1)求抛物线C2的解析式；

(2)A是抛物线C2上在第一象限的动点，过点A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ＋OQ的最大值；

备用图

(3)设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为(－1，4)，问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．

解：(1)∵y1＝－2x2＋4x＋2＝－2(x－1)2＋4，

∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4)．

∵抛物线C1与C2顶点相同，

－m∴＝1，－1＋m＋n＝4，解得m＝2，n＝3.

－1×2∴抛物线C2的解析式为y2＝－x2＋2x＋3；

(2)如答图①所示，

设点A的坐标为(a，－a2＋2a＋3)．

∵AQ＝－a2＋2a＋3，OQ＝a，

3221∴AQ＋OQ＝－a＋2a＋3＋a＝－a＋3a＋3＝－a－2＋4.

22321∴当a＝2时，AQ＋OQ有最大值，最大值为4.

第23题答图①

第23题答图②

(3)如答图②所示，连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D. ∵B(－1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为x＝1，

∴BC⊥CM，BC＝2. ∵∠BMB′＝90°，∴∠BMC＋∠B′MD＝90°. ∵B′D⊥MC，∴∠MB′D＋∠B′MD＝90°. ∴∠MB′D＝∠BMC. ∠BMC＝∠MB′D，在△BCM和△MDB′中，∠BCM＝∠MDB′，

BM＝MB′，∴△BCM≌△MDB′(AAS)．∴BC＝MD，CM＝B′D. 设点M的坐标为(1，a)，则B′D＝CM＝4－a，MD＝CB＝2. ∴点B′的坐标为(a－3，a－2)．

∴－(a－3)2＋2(a－3)＋3＝a－2. 整理得a2－7a－10＝0，解得a1＝2，a2＝5. 当a1＝2时，M的坐标为(1，2)；

当a2＝5时，M的坐标为(1，5)．

综上所述，当点M的坐标为(1，2)或(1，5)时，B′恰好落在抛物线C2上．