反证法优质课教案设计

§4.4 反证法

教学目标：

1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤；

2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题；

3、使学生逐步树立“正难则反”和“转换思维”的意识。

教学过程：

一、情境导入

1、故事引入“反证法”：——路边苦李

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。

王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。”

小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李。

王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。反证法是数学中常用的一种方法。人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。你能总结出以上这种证明方法的步骤吗? 假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。其思维过程的表述如下图：

这就是反证法：

在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。这种证明方法叫做反证法。

二、探究新知

（一）整体感知

用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。概括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。

你能说出下列结论的反面吗? 1、a⊥b； 2、d是正数； 3、a≥0； 4、 a∥b。

（二）师生互动

1、用反证法证明(填空)：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°

已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角（如图）；

求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°。

证明：假设所求的结论不成立，即

∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°

这与“三角形的内角和为180°”相矛盾

所以假设不成立，所求证的结论成立

2、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。

已知：（如图）直线a，b，c在同一平面内，且a∥b，c与a相交于点P，求证：c与b相交。

教师简单引导学生小结：证明两直线相交的又一判定方法。定理：在

同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。

数学符号语言：∵直线a，b，c在同一平面内，a∥b，c与a相交，∴c与b相交

3、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。

①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立。

使学生再次明确：用反证法证题的基本思路及步骤。

4、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条平行，那么和另一条也平行。

已知：（如图）直线a，b，c在同一平面内，且a∥b，a∥c 求证：b∥c 教师带领学生先进行一定的分析，预设问题：

（1）你首选的是哪一种方法？

（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？

（3）能不用反证法吗？你准备怎样证明？——分类讨论的方法（三直线的位置）。

教师在例后要引导学生比较体会反证法的优点：当正面证明比较繁杂或较难证明时，用反证法证明是一种证明的思路，并指出本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理。

（平行线传递性）定理：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条平行，那么和另一条也平行

数学符号语言：∵直线a，b，c在同一平面内，a∥b，a∥c，∴b∥c，∴a∥b∥c 在运用反证法的过程，往往要仔细分析结论的反面，特别要注意语句的转换及表达。

方法总结：——证明一个命题是真命题有哪些方法?

三、学以致用，完善新知：

1、已知：如图，直线l与a，b，c都相交，且a∥c，b∥c，求证：∠1=∠2 用直接法证明

证明：∵a∥c，b∥c(已知)，∴a∥b(在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。) ∴∠1=∠2(两直线平行，同位角相等) 反证法证明：

证明：假设∠1≠∠2，则a∥b，这与a∥b相矛盾，

所以假设不成立，所求证的结论成立。

2、链接生活

反证法的思想也时常体现在人们的日常交流中，下面是有关的一个例子：

妈妈：小华，听说邻居小芳全家这几天下在外出旅游。

小华：不可能，我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢! 上述对话中，小华要告诉妈妈的命题是什么? （小芳全家没外出旅游.）

他是如何推断该命题的正确性的? 在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一至两个例子. 四、学习小结：

1、引导学生作知识总结，学习了反证法证题的思路与步骤。

2、教师扩展：在直接法无法证明或很难证明的情况选用反证法。

反证法的步骤：

（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

（2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

五、课后作业：1、配套作业本A(1)组必做。2、书本作业题．3、课外活动：收集反证法在生活中应用的例子，在班上交流。