反证法名师教学视频（文字实录）

反证法的教学设计

重庆市第四十二中学校 周裕兰

一、教学目标

1、理解反证法的概念，了解反证法的基本思路和一般步骤。

2、会用反证法证明简单的几何命题。

3、理解当一个命题用直接证法比较困难时，可以采取间接证法。

二、教学重难点

重点：反证法的证明步骤。

难点：用反证法证明命题，写出与原命题结论相反的假设，真正理解矛盾在哪里。

三、教学流程安排

活动流程图

【活动1】情境导入

【活动2】新课讲解

【活动3】练习巩固

【活动4】能力提升

【活动5】小结

【活动6】作业

活动内容和目的

由反证法在现实生活中的应用引出反证法的概念。

讲解反证法的证明步骤，突出教学重点。

由浅入深，突破反证法证明的难点。

讲解教材例题，证明“经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆”。

回顾，总结，体会反证法在生活中的应用，认识学习反证法的必要性。

提高对知识的系统性认识。

四、教学过程

问题与情境

【活动1】情境导入

古代中国人认为天圆地方，古代巴比伦人认为地是圆的，古代欧洲人认为大地是一个平面，海的尽头是无

师生行为

设计意图

以历史实例引入，体现反证法在生活中的应用。

底洞。

同学们，你们知道地球是什么形状的吗？

你能证明吗？

葡萄牙人，费尔南多·麦哲伦，是一位世界航海家，他是地圆说的信奉者。1519年9月20日，麦哲伦在西班牙国王的资助下，率领一支探险队，从西班牙塞维利亚港起航，从西向东航行，历时3年，返回西班牙塞维利亚港，完成了一次环球航行。麦哲伦用实践证明了地球是一个球体。从此，人们真正相信了地球是一个圆球。

听完麦哲伦航海的故事，你能证明地球是圆的吗？怎么证？

【活动2】新课讲解

例题

求证：一个三角形不能有两个直角。

教师提问，学生回答。

教师讲述麦哲伦航海的训练学生语言表达能力，故事（展示多媒体），学生听让学生初步感受反证法的思完故事后给出“地球是圆的”路。

这个命题的证明。

激发学生学习兴趣，为后老师由学生的证明引出续学习做好铺垫。

反证法的概念。

假设命题的的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。

教师展示课件并提问，请一个学生在黑板上根据反证法的步骤尝试证明。

让学生理解对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采取间接证法，反证法就是一种间接证法。

教师点评、纠错，板书正确格式，规范学生书写。

让学生理解：证明一个几何命题时，可借助图形和数学符号语言来进行证明。

强调反证法证明的一般步骤：假设命题的结论不成立；根据假设推理得出的结论与公理（基本事实）、定理，或者已知条件矛盾；断定假设不成立，原命题结论成立。

教师展示课件。

第1题抽同学回答。

以一个比较浅显的几何命题突出教学重点，学生在易懂好学的情况下，掌握反证法的证明步骤。设置题目时，要由浅入深，避免教学难点与教学重点重叠，学生接受起来才不会有困难。

【活动3】练习巩固

1、已知△ABC中，AB=AC，求第1小题的设置是对教学重点——反证法证明步骤的巩固。

证法证明这个命题过程中的

四个推理步骤：因为∠B+∠

C≥180º与三角形内角和定理

相矛盾；所以∠B<90º；

假设∠B≥90º；④那么由

AB=AC，得∠B=∠C≥90º,即∠B+

∠C≥180º。这四个步骤正确的

顺序应是（

）

A、④

B、④

C、④

D、④

2、用反证法证明命题“若⊙第2题再请一位同学回O的半径为r，点P到圆心的答。

距离为d，且d>r,则点P在引导学生分清命题的条⊙O的外部”，首先应假设（）

件和结论。

A、d

B、d=r

C、点P在⊙O外

D、点P在⊙O上或点P

在⊙O内

3、利用反证法证明“直角三第3题请同学们分组讨角形至少有一个锐角不小于论。

45º”，应先假设（ ）

教师抽小组代表回答。

A、直角三角形的每个锐角老师总结：含有“至少”、都小于45º

“至多”等词语的命题常用反B、直角三角形有一个锐角证法证明。

大于45º

引导学生利用图形和数C、直角三角形的每一个锐学符号语言对题目进行解读。

角都大于45º

D、直角三角形的有一个锐

角小于45º

4、请写出以下词语的否定展示多媒体，老师提问，词：“大于”、“小于”、学生回答。

证：∠B <90º。下面写出了反

第2题是一道易错题。

用反证法证明命题时，如果结论的反面有多种情况，则必须一一否定。

用反证法证明命题时，准确写出与原命题的结论相反的假设是关键，对于学生来说也是难点。

第3题采用分组讨论也是攻克难点的一个教学方法。

命题是判断一件事情的语句。用反证法证明时需要假

“等于”、“能”、“全都对于“全都是”的否定词是”、“至少一个”、“至可举例说明。

少n个”、

“至多n个”。

对于“至少一个”、“至

少n个”、

“至多n个”的

否定词可引导学生利用数学符号语言进行理解。

【活动4】能力提升

思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？

答：_____________________ 证明：假设______________

设这个圆的圆心为P, 则PA=PB=PC,那么点P既在______________上, 又在________________上，即点P为__________的交点，而l1l,l2l，这与我们以前学过的______________矛盾。所以______________。

【活动5】小结

1、通过本节课的学习，同学们有什么新的收获和体会？

2、谈谈生活中的反证思想。

【活动6】作业

1、

用反证法证明命题“△ABC中至少有两个内角是锐角”，第一步假设为____________。

2、用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60º”，第一步假设为___________。

3、用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角。

4、用反证法证明平行线的性质“两直线平行，同位角相等。”

学生自己总结发言，不足之处由其他学生补充完善，教师重点关注不同层次的学生对本节知识的理解、掌握程度。

学生独立完成，教师批改总结。

教师展示多媒体，学生填空回答。

教学时，教师要引导学生注意推理的严密性，必须步步有据，并且一定要理解矛盾在哪里。

设命题的结论不成立，也就需要找出命题中判定词的否定词。

总结命题中常用判定词的否定词可突破教学难点。

本题的证明难度较大，改成填空的方式，可以降低证明难点，让学生自己尝试着证明，为下一步自己独立证明奠定基础。

了解教学效果，及时调整教学。

增加学习兴趣，让学生能够运用所学知识服务生活。

有了前面一系列的铺垫，相信大多数同学能够独立完成反证法的证明题。

学生能力逐层得到提升。