3.3.1 两条直线的交点坐标教学内容概述

3.3.1两条直线的交点坐标

教案

树德中学都江堰外国语实验学校

廖琦

一、新课导入

几何元素及关系

点A 代数表示

A(m,n) 直线l

l:Ax+By+C=0 点A在直线l上

Am+Bn+C=0 直线l1与l2的交点是A

A1mB1nC10

AmBnC0222二、典型例题

例1：求下列两条直线的交点：l1：3x+4y－2=0；l2：2x+y+2=0.

解：联立方程3x4y20x-2，解得，

2xy20y2∴l1与l2的交点是M（- 2，2）

1

练习1：求下列直线的交点l1：x=2，l2：

3x+2y-12 =0。

解：联立方程x2x2，解得，

3x2y120y3∴l1与l2的交点坐标是（2，3）

【想一想】：1.平面内两条直线的位置关系有几种？哪几种？

2.两条直线方程所组成的二元一次方程组的解的个数，和直线的位置关系有什么联系？

结论：

若方程组有唯一解，则两直线相交，交点坐标即为方程组的解；

若无解，则两直线平行；

若有无数解，则两直线重合。

例2

判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：

（1）l1:x-y=0,

l2:3x+3y-10=0; （2）l1:3x-y+4=0,

l2:6x-2y-1=0; （3）l1:3x+4y-5=0,

l2:6x+8y-10=0;

333xxy05解：（1）联立方程，解得，直线l1与l2相交，交点坐标（5，5）

3x3y100y35（2）联立方程

3xy40，无解，所以直线l1与l2平行

6x2y103x4y50（3）联立方程，有无数解，所以直线l1与l2重合

6x8y100

2

【探究1】：

（1）求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标。

M的坐标为（1,-1）

（2）方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示什么图像？

方程整理为（2λ+3）x+(-3λ+2)y+(-5λ-1)=0

所以上述方程表示无数条直线

（3）问方程3x+2y－1+λ（2x－3y－5）=0（λ为任意常数）表示的直线过M点吗？

将(1,-1)代入上面方程，的0+0·λ=0

【探究2】: 方程3x4y2(2xy2)0表示什么图形？图形有何特点？

当λ在变换时，上面方程表示无数条直线，且这些直线都要经过直线3x+4y-2=0与2x+y+2=0的交点

【结论】：1、直线

A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0经过直线A1x+B1y+C1=0

和

A2x+B2y+C2=0

的交点；

2、所有经过直线A1xB1yC10和A2xB2yC20交点的直线都可以被方程

A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0

表示出来，故把该方程称之为：过两直线交点的直线束方程。

例3

求证：无论m取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标。

x3y110解：将方程变形为：x3y11m(xy1)0，即

xy107x752解得，故直线恒过定点（，）

22y52

3

练习3

直线(t-2)x-(2t+1)y-(3t+4)=0的定点坐标是

(-1,-2)

。

例4: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且满足下列条件的直线L的方程。

(1) 过点(2, 1)

(2) 和直线3x-4y+5=0垂直。

练习4 1.

过两直线x-2y+3=0和x+2y-9=0的交点和原点的直线方程是：

x-y=0

。

2.过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点且垂直于直线3x-2y+4=0的

直线方程是：

2x+3y-2=0

。

3.过两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点且平行于直线4x-3y-7=0的

直线方程是：

4x-3y-6=0

。

三、课堂小结：

1.学习了求两直线交点坐标的方法，以及如何根据方程组解的个数判定两直线的位置关系。2.过两直线交点的直线束方程

3.数形结合思想

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