习题2.3评课稿

2.3.1直线和平面垂直的判定

勃利县高级中学

刘瑜

一、教学目标

（一）核心素养

引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题最终要转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．

（二）学习目标

（1）直线和平面垂直的定义及相关概念．

（2）直线和平面垂直的判定定理．

（3）线线平行的性质定理．

（三）学习重点

（1）掌握直线和平面垂直的定义．

（2）掌握直线和平面垂直的判定定理．

（3）掌握线线平行的性质定理．

（四）学习难点

（1）线、面垂直定义的理解和判定定理的证明．

（2）如何要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过某点的两条直线说明“任意”直线的问题．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第64页到第67页，填空：

直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

判定定理：

文字语言

图形语言

符号语言

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判如果一条直线与一个定平面内的两条相交直定线都垂直，则该直线理

与此平面垂直

预习自测

（1）下面说法正确的个数是（

）

l⊥al⊥ba∩b＝O⇒l⊥α

a⊂αb⊂α①直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α．

②若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．

③若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．

A．0

B．1

C．2

D．3 答案.B （2）已知直线a、b和平面α，a,b

，则a

b．

答案：⊥

（3）在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O．

①若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．

②若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

答案：外；垂．

解析：①如图1，连接OA、OB、OC、OP，

在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，

即O为△ABC的外心．

②如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，

∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴PC⊥AB，

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又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，

又CG⊂平面PGC，

∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．

同理可求BD、AH为△ABC底边上的高，

即O为△ABC的垂心．

(二)课堂设计

1．知识回顾

（1）空间两条直线有哪几种位置关系？

（三种：相交直线、平行直线、异面直线）

（2）空间中经过一点和一条直线垂直的直线有几条？

（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）

（3）空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？

（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．）

2．问题探究

探究一

实例引领，认识直线和平面垂直的概念★

●活动①

归纳提炼概念

（1）同学们，我们现在拿起我们的课本，把书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．所以我们说：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．

（2）指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．（类比初中：在平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直）

（3）说明直线和平面垂直的画法及表示．

要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定

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立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）

【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．

●活动②

逐步引导，证明定理

引导学生写出已知条件和结论，并画出图形如下：

已知：lm,ln,m,n,mnB

求证：l

我们知道如何证明直线和平面垂直呢？需要根据直线和平面垂直的定义，即需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可．

如图：设g是平面α内的任意一条直线，现在只要证明l⊥g就可以了．对于平面α内不经过点B的直线，可以过点B作它的平行直线，所以，我们先证明，l、g都经过点B的情况．

（学生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示）

（1）l、g是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l上点B的两侧分别取点A、A′，使AB＝A′B．

（2）直线m、n和线段AA′是什么关系？

（m、n垂直平分AA′）

（3）从结论看，直线g与线段AA′应当有什么关系？（g垂直平分AA′）

（4）怎样证明直线g垂直平分线段AA′？

（只要g上一点E，有EA＝EA′）

（5）过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，则有：AC

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＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？

（利用全等三角形性质）

（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）

参看右图并作如下说明：

（1）当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的．

（2）如果直线l、g有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而l⊥g．

（3）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．

这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．

（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．

（4）强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．

（Ⅰ）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．

（Ⅱ）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．

【设计意图】通过定理的证明，加深对定理内涵与外延的理解，突破重点．

探究二

变例探究，灵活使用直线和平面垂直的判定定理．

●活动①

互动交流，初步实践

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例1

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．

分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．

已知：a//b，a．求证：b（如下图）

【知识点】直线和平面垂直的判定定理

【解题过程】证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m、n．

∵a，∴am，an．

又∵b//a，从而有bm，bn．

由作图知m、n为α内两条相交直线．

∴b．

【思路点拨】本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．

课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．

【答案】见解题过程．

●活动②

巩固基础，检查反馈

例2 判断题：正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”．

(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（

）

(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（

）

(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（

）

(4)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于α的平面内．（

）

(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（

）

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【知识点】直线和平面垂直的概念辨析

【解题过程】(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：①平行；②异面．因此应打“×”．

(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”．

(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以该命题应打“√”．

(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，所以该命题应打“√”．

(5)三条共点直线两两垂直，设为a、b、c且a、b、c共点于O，

∵a⊥b，a⊥c，bIcO，且b、c确定一平面，设为α，则a⊥α，

同理可知b垂直于由a、c确定的平面，c垂直于由a、b确定的平面，

∴该命题应打“√”．

【思路点拨】本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．

【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√

例3

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AC＝2BC，D是棱AA1的中点，CDB1D.

（1）证明：CDB1C1；

（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

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【知识点】直线和平面垂直的性质的应用．

【数学思想】化归思想

【解题过程】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形，

由于D为AA1的中点，故DC=DC1，

222DCDCCC,

11又AA1=2A1C1，可得所以CD⊥DC1，而CD⊥B1D，B1D∩C1D＝D，

所以CD⊥平面B1C1D，

因为B1C1平面B1C1D，所以CD⊥B1C1．

（2）由（1）知B1C1⊥CD，且B1C1⊥C1C，则B1C1⊥平面ACC1A1，

设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，

1131V1VB1CDA1C1S梯形CDA1C1B1C1B1C13B1C13，3322则

V总VABCA1B1C1V2V总-V11ACBCCC1B1C13，2

1B1C13V1，2

故V11:1.V2

【思路点拨】异面直线间垂直的证明可通过证明直线和平面垂直得证．

【答案】（1）见解题过程；（2）1:1．

活动③

强化提升，灵活应用

例4 如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC．

(1)求证：点S与斜边AC中点D的连线SD⊥面ABC；

(2)若直角边BA=BC，求证：BD⊥面SAC．

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【知识点】等腰三角形三线合一

【解题过程】

证明：

(1)在等腰△SAC中，D为AC中点，∴SD⊥AC．

取AB中点E，连DE、SE．

∵ED∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB．

又SE⊥AB，∴AB⊥面SED，∴AB⊥SD．

∴SD⊥面ABC（AB、AC是面ABC内两相交直线）．

(2)∵BA=BC，∴SD⊥AC．

又∵SD⊥面ABC，∴SD⊥BD．

∵SDIACD，∴BD⊥面SAC．

【思路点拨】证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．

【答案】见解题过程．

例5 平面α内有一半圆，直径AB，过A作SA⊥平面α，在半圆上任取一点M，连SM、SB，且N、H分别是A在SM、SB上的射影．

(1)求证：NH⊥SB．

(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？

(3)这个图形中有多少个直角三角形？

(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？

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【知识点】线线垂直，线面垂直．

【数学思想】化归思想

【解题过程】(1)证明：连AM、BM．如上图所示，

∵AB为已知圆的直径，∴AM⊥BM．

∵SA⊥平面α，BM，∴SA⊥MB．

∵AMISAA，∴BM⊥平面SAM．

∵AN平面SAM，∴BM⊥AN．

∵AN⊥SM于N，BMISMM，∴AN⊥平面SMB．

∵AH⊥SB于H，且NH是AH在平面SMB的射影，∴NH⊥SB．

(2)由(1)知，SA⊥平面AMB，BM⊥平面SAM，AN⊥平面SMB．

∵SB⊥AH且SB⊥HN，∴SB⊥平面ANH，

∴图中共有4个线面垂直关系．

(3)∵SA⊥平面AMB，∴△SAB、△SAM均为直角三角形．

∵BM⊥平面SAM，∴△BAM、△BMS均为直角三角形．

∵AN⊥平面SMB，∴△ANS、△ANM、△ANH均为直角三角形．

∵SB⊥平面ANH，∴△SHA、△BHA、△SHN、△BHN均为直角三角形．

综上，图中共有11个直角三角形．

(4)由SA⊥平面AMB知，SA⊥AM，SA⊥AB，SA⊥BM．

由BM⊥平面SAM知，BM⊥AM，BM⊥SM，BM⊥AN．

由AN⊥平面SMB知，AN⊥SM，AN⊥SB，AN⊥NH．

由SB⊥平面ANH知，SB⊥AH，SB⊥HN．

综上，图中共有11对互相垂直的直线．

【思路点拨】为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥

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面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．

【答案】（1）见解题过程；（2）4；（3）11；（4）11．

同类训练

如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面ABCD，过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分别于点E、F、G，求证：AESB，AGSD．

【知识点】线线垂直，线面垂直。

【数学思想】化归思想

【解题过程】证明：∵SA平面ABCD，BC平面ABCD，∴SABC．

又∵ABCD为正方形，∴BCAB．∴BC平面ASB．

∵AE平面ASB，∴BCAE．

又∵SC平面AEFG，∴SCAE．∴AE平面SBC．

又∵SB平面SBC，∴AESB，同理可证AGSD．

【思路点拨】(1)证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直．

本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性．

【答案】见解题过程．

3．课堂总结

知识梳理

（1）证明线线垂直的方法

（Ⅰ）定义：两条直线所成的角为90°．

（Ⅱ）平面几何中证明线线垂直的方法．

（Ⅲ）线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．

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（Ⅳ）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b．

（2）重难点归纳

在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意．口诀：线不在多，重在相交．

（三）课后作业

基础型

自主突破

1．下列说法中正确的是（

）

A．如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；

B．如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l；

C．如果直线l与平面不垂直，则平面内没有与l垂直的直线；

D．如果直线l与平面不垂直，则平面内也有无数条直线与直线l垂直．

【知识点】直线和平面垂直的概念．

【解题过程】D选项中与直线和平面垂直的概念相容．

【思路点拨】理解直线和平面垂直的概念．

【答案】D．

2．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（

）

A．平行

B．垂直

C．相交但不垂直

D．不确定

【知识点】直线和平面垂直的概念．

【解题过程】B选项中由直线和平面垂直的性质可得．

【思路点拨】理解直线和平面垂直的概念．

【答案】B．

3．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：

①若ab,ac则b∥c；②若ab,ac则bc；③若a∥b,bc则ac．

其中正确的个数为（

）

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A．0 B．1 C．2 D．3 【知识点】直线和直线的关系．

【解题过程】③若a∥b,bc则ac．正确．

【思路点拨】垂直关系可以平移．

【答案】B．

4．

已知m、n表示两条不同直线，表示平面．下列说法正确的是（

）

A．若m∥，n∥,则m∥n

B．若m，n，则mn

C．若m，mn，则n∥

D．若m∥，mn，则n

【知识点】空间中的线面mn关系．

【解题过程】B选项为直线和平面垂直的性质．

【思路点拨】熟悉空间中的线面关系的概念和定理．

【答案】B．

5．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；

④AE⊥平面PBC．

其中正确结论的序号是________．

【知识点】直线和平面垂直．

【解题过程】由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．

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又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF．

∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC．又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF．故①②③正确．

【思路点拨】熟悉线线垂直和面面垂直的互相转化．

【答案】①②③．

6．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：

(1)AD⊥平面PAB；

(2)BE∥平面PAD．

【知识点】线面垂直，线面平行．

【解题过程】证明：(1)因为平面PA⊥底面ABCD，所以PA垂直于AD，且AB⊥AD，所以AD⊥底面PAB．

(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE．

所以四边形ABED为平行四边形．

所以BE∥AD．

又因为BE平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD．

【思路点拨】（1）利用平面和平面垂直的性质定理；（2）根据已知条件判断ABED为平行四边形，再利用直线和平面品行的判定定理证得．

【答案】见解题过程．

7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

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证明：(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE．

【知识点】线线垂直，线面垂直．

【解题过程】证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，

∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．而AE⊂平面PAC，

∴CD⊥AE．

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD．

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．

∵PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AB．

又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD．

又∵AB∩AE＝A，

∴PD⊥平面ABE．

【思路点拨】证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．

【答案】见解题过程．

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能力型

师生共研

8．如图所示四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，π1AB＝2，∠BAD＝3，M为BC上一点，且BM＝2．

(1)证明：BC⊥平面POM；

(2)若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO的体积．

【知识点】线面垂直，空间计算．

【解题过程】解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的ππ中心，连接OB，则AO⊥OB．因为∠BAD＝3，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin6＝1．

1π又因为BM＝2，且∠OBM＝3，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠1OBM＝12＋221π3－2×1××cos＝，所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM．

234又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC．从而BC与平面POM内的两条相交直线OM、PO都垂直，所以BC⊥平面POM．

π(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos6＝3．

设PO＝a，由PO⊥底面ABCD，知△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3．

3又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋4．连接AM，在△ABM中，1AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋22

12π21－2×2××cos23＝4．

由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则

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321PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋4＝4，

333解得a＝2或a＝－2(舍去)，即PO＝2．

此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB

11＝2·AO·OB＋2·BM·OM

1113＝2×3×1＋2×2×2

53＝8．

115335所以四棱锥P-ABMO的体积V四棱锥P-SPO＝四边形ABMO·ABMO＝·33×8×2＝16．

【思路点拨】将空间中的数量关系集中在△APM内，再利用勾股定理建立方程，求出四棱锥的高是本题求解的关键．

【答案】见解题过程．

探究型

多维突破

9．如图所示，三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．

(1)求证：CD⊥平面ABD；

(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积．

【知识点】元素与集合关系的判断．

【解题过程】方法一：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．

又∵CD⊥BD，AB∩BD＝B，

AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，

∴CD⊥平面ABD．

(2)由AB⊥平面BCD，

得AB⊥BD．

1∵AB＝BD＝1，∴S△ABD＝2．

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∵M是AD的中点，

11∴S△ABM＝2S△ABD＝4．

由(1)知，CD⊥平面ABD，

∴三棱锥C-ABM的高h＝CD＝1，

因此三棱锥A-MBC的体积

11VA-＝V＝S·h＝△MBCC -ABM3ABM12．

方法二：(1)同方法一．

(2)由AB⊥平面BCD，得平面ABD⊥平面BCD．

且平面ABD∩平面BCD＝BD．

如图所示，过点M作MN⊥BD交BD于点N，

11则MN⊥平面BCD，且MN＝2AB＝2．

1又CD⊥BD，BD＝CD＝1，∴S△BCD＝2．

∴三棱锥A-MBC的体积

VAMBCVABCDVMBCD=111ABSBCDMNSBCD=3312．

【思路点拨】（1）CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；（2）利用转换底面，即可求出三棱锥的体积．

1【答案】（1）见解题过程；（2）12．

自助餐

110．如图所示，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD，E、F分别为线段AD、PC的中点．

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(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：BE⊥平面PAC．

【知识点】元素与集合关系的判断．

【解题过程】

证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF、EC．由于E为AD的中点，

1AB＝BC＝2AD，AD∥BC，

所以AE∥BC，AE＝AB＝BC，

所以O为AC的中点．

又在△PAC中，F为PC的中点，所以AP∥OF．

又OF⊂平面BEF，AP平面BEF，

所以AP∥平面BEF．

(2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC，

所以四边形BCDE为平行四边形，

所以BE∥CD．

又AP⊥平面PCD，

所以AP⊥CD，所以AP⊥BE．

因为四边形ABCE为菱形，

所以BE⊥AC．

又AP∩AC＝A，AP、AC⊂平面PAC，

所以BE⊥平面PAC．

【思路点拨】（1）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；（2）证明BE⊥

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AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．

【答案】见解题过程．

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