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《点到直线的距离》教学设计

高中数学必修2第三章第3节第三课时

河北乐亭第一中学

王志华

一、

教学内容解析

《点到直线的距离》这节课的内容是从初中平面几何的定性作图向高中解析几何定量计算的过渡.点到直线的距离公式是解析几何后续学习的一个基础工具，属于概念性知识.本节课蕴含分类与整合，转化与化归，数形结合，函数与方程等丰富的数学思想；它既是两点间距离公式的延续，又为导出两平行线间距离公式作了铺垫，具有承上启下的重要作用.本节课的教学重点是点到直线距离的探索与应用；难点是点到直线距离公式的推导. 二、教学目标设置

【知识与技能】

（1）探索并掌握点到直线的距离公式；

（2）学会点到直线距离公式的应用. 【过程与方法】

通过经历公式多种推导方案的设计及比较，领会特殊到一般，转化与化归，分类与整合，数形结合，函数与方程等数学思想.

【情感、态度、价值观】

在探索问题的过程中，感受数学的严谨与统一，感受数学的形式美与简洁美.

三、学生学情分析

面授学生的数学基础知识扎实、思维活跃、有较强的创新能力。学生已经学习了两点间的距离公式，且具备了相关的几何知识，如：交点、垂直、三角函数等.学生对坐标法解决几何问题有初步的认识. 四、教学策略分析

本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学.通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题. 五、教学过程

（一）温故知新，引出课题

复***面直角坐标中两点间的距离公式，同时，引出课题——点到直线的距离. 【设计意图】平面图形最基本的要素是点和线.在研究了两点间距离公式后，很自然地会去研究点线间的距离，当然还可以更深入地去探究两平行线间的距离.这三个距离公式是一脉相承的，因此，这样引入自然、贴切，符合学生的认知规律. （二）特例引入，巧作铺垫

引例：在平面直角坐标系中，求点P(1,2)到直线l:xy50的距离. 问题1.点到直线的距离指的是什么？ 问题2.为什么选择垂足与点P的距离作为点线距离？选直线上其它点与P点距离可以吗？

问题3.点到直线的距离还可以怎么定义？

【设计意图】复习点到直线距离的垂线段定义法，同时引出广义定义法，即点到直线上所有点距离的最小值，为后续目标函数的推导方法的展开埋下伏笔.

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自主探究：请同学计算引例中的距离，并考虑用多种方法进行解答. 【设计意图】从具体的例子出发求距离，相对来说，计算量更小，学生有更充裕的时间去发现解法的多样性，为后续求抽象的点线距离做好准备.预计会出现以下几种解法. y 1、

垂线段法

如图1，过P作PQ⊥l于Q. （1)求出直线PQ的方程：xy10；

(2)联立直线PQ，l的方程，求出交点Q的坐标(2,3)；

(3)求出距离，|PQ|P O 图1 y Q R P O 图2 y S Q R P x l x l Q x l 2. 评注：很好，该思路自然、简单、清晰. 2、解直角三角形法

如图2，在图1的基础上，过P作PR//x轴交直线l于点R. (1)求出点P到直线l的水平距离|PR|2；

(2)在RtPQR中，PRQ45；

所以，|PQ|PRsinPRQ2. 评注：这种方案将点到直线的距离问题转化为解直角三角形问题。在斜边及

角度已知的情况下，显然运用三角函数的知识可以轻松求解。

3、等面积法

如图3，在图2的基础上，过P作PS//y轴交直线l于点S. （1）求出RtSPR的三条边长；

易得，|PR|2,|PS|2,|RS|22；

（2）利用等面积法求出斜边上的高. O 评注：直角三角形构造巧妙，避开研究三角形的内角，计算简洁，快速得出结果. 图3 问题4.还有别的做法吗？如果从刚才点到直线的本原定义来看的话，我们可以

先将点到直线上任意一点的距离表示出来，再求这个距离的最小值即可.那么，要求最小值，我们可以从什么地方切入呢？

【设计意图】引出目标函数法. 4、目标函数法

（1）求出点P到直线l上任一点M(x,y)的距离的平方：

|PR||PS|22|PQ|2

RS2|PM|2(x1)2(y2)2

（2）消元，转化为一元二次函数；

|PM|22x28x102(x2)22,xR

（3）求目标函数的最小值；当且当x2时，取到最小值2；此时，|PM|2. 评注：该方法运用函数思想，将几何问题代数化，是典型的解析几何解法. （三）公式推导，殊途同归

问题一般化：在平面直角坐标系中，求点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离. 问题5.以上这些方法应该都可以用来解决该问题，但同学们会选择哪种，或者哪些方法来做呢？为什么？

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【设计意图】进行方案比较，优选；在比较中，再次领会各种方案的思想方法，比较它们的优缺点，选择合适的方案执行. 在比较之后，师生合作，详细演示等面积法的推导过程. 构造直角三角形，使得所求垂线段为斜边上的高，用等面积法求出高。

yP（1）过P作x,y轴的垂线，分别交直线l于M、N，构造直角三角形MPN；则

NPQ为斜边上的高（如图4）

QM

（2）求出直角三角形三条边长；

易得，|PM||Ax0By0CAxBy0C|，

|PN||0|；

BA|Ax0By0C||MN||PM|2|PN|2A2B2

|A||B|l图4 x（3）利用等面积法求出|PQ|。

|PQ||PM||PN||PM||PN|22|Ax0By0C|AB22

问题6.在上述推导过程有没有不够严谨的地方？

【设计意图】由学生自我排查，发现A,B必须都不等于0的条件以及与还可能相等等问题，培养学生思维的严谨性. （四）公式记忆，学以致用

教师引导学生验证A=0或B=0的特殊情况也符合一般的距离公式.最后得到点到直线的距离公式可统一为d|Ax0By0C|AB22. 问题7.这个公式如何记忆？

问题8.这个公式的对点、线的位置有没有要求？

【设计意图】强化公式记忆，明确公式的适用范围. 例1．求点P(1,2)到下列直线的距离. （1）y3xyx1 （2）1 （3）3x2 （4）5x2y10 4512例2．已知点A(1,3),B(3,1),C(1,0)，求ABC的面积.（预设）

（五）归纳总结，思维提升

1、学习了点到直线距离的定义；

2、学习了点到直线距离公式的四种不同推导方法；其实点到直线距离公式的推导方法还有很多种，如：向量法、参数法、不等式法、坐标平移法等. 3、在公式推导过程中，领悟特殊到一般，转化与化归，分类与整合，数形结合，函数与方程等数学思想. （六）课后作业，巩固实践

1、上网查阅点到直线距离公式的多种推导方法；

感受数学知识的广博与统一. 2、书面作业： P110 A 9，10 B 4,5

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